28. Асимнтоты.

Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у=f(x) , если хотя бы один из пределов

Прямая у=кх+b является наклонной асимптотой графика у=f(x) при х→+∞, если f(x) представима в виде f(x)= кх+b+α(х), где

Теорема. Для того чтобы график функции у=f(x) имел х→+∞ наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х→-∞.

29. Возрастание, убывание и экстремумы функций

Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции. Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция ƒ(х) возрастает (убывает), то ƒ'(х)≥0 (ƒ"(х)≤0) для любого x є (a;b). Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция ƒ(х) дифференцируема на интервале (a;b) и ƒ'(х)>0 (ƒ'(х)<0) для любого xє(a;b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).

Необходимые и достаточные условия экстремума функции. Теорема 25.8 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у=ƒ(х) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю: ƒ'(х₀) = 0. Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими. Теорема 25.9 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция у = ƒ(х) дифференцируема в некоторой d -окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее (слева направо) производная ƒ'(х) меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума; с минуса на плюс, то х₀ — точка минимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Пусть функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b]. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке x₀ отрезка [а;b], либо на границе отрезка, т. е. при х₀ = а или х₀ = b. Если х₀є(а;b), то точку х₀ следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152).

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а;b]:

1) найти критические точки функции на интервале (а;b);

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее

30.Выпуклость, вогнутость точки перегиба. (Для этого находим вторую производную, точки перегиба, распределяем знаки второй производной: -вогнутая, +выпуклая)

3. Определители 2-ого и 3-его порядка.

Определителем 2-ого порядка наз. число = .

Определителем 3-ого порядка наз. число=.

Это определение наз. правилом треугольника или правилом Саррюса:

Второй способ:

Вопросы к экзамену по высшей математике

1. Матрицы. Основные понятия.

2. Операции над матрицами.

3. Определители 2-го и 3-го порядка.

4. Свойства определителей.

5. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

6. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

8. Арифметические векторы. Линейные операции над векторами.

9. Линейная зависимость векторов.

10. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по заданному базису.

11. Скалярное произведение векторов.

12. Геометрическая интерпретация векторов.

13. Линия на плоскости.

14. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой «в отрезках».

15. Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

16. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

17. Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении.

18. Угол между 2 прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности 2 прямых.

19. Линии 2-го порядка.

20. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.

21. Угол между 2 плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности 2 плоскостей.

22. Прямая в пространстве. Угол между 2 прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности 2 прямых.

23. Точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

24. Понятие предела функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

25. Свойства пределов и правила вычисления приделов.

26. Понятие производной функции. Геометрический смысл производной.

27. Правила вычисления производной. Производные сложной функции.

28. Асимнтоты.

29. Возрастание, убывание функции. Точки экстремума.

30. Выпуклость, вогнутость точки перегиба.