МАТРИЦЫ

1.Основные понятие. Матрицы mxn называется прямоугольная таблица чисел которая состоит из m-строк и n – столбцов .Числа из которых составлена матрица называются элементами матрицы . Матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита (Amxn) . Если число строк матрицы = числу столбцов , то матрица называется квадратной , число n в этом случае указывает порядок матрицы . Элементы квадратной матрицы а₁₁ ,а₂₂…a_mn–эти элементы образуют главную диагональ матрицы , а элементы a_n1 ,a_{n-12 …}a_1n– образуют побочную диагональ матрицы . Если в квадратной матрице все элементы расположены выше или ниже главной диагонали =0 , то матрица называется треугольной .Диагональной называется матрица , все элементы которой кроме элементов главной диагонали = 0.Диагональная матрица называется единичной ,если все элементы главной диагонали =1 . Матрица , все элементы которой =0 называется нулевой. Если в матрице каждую строку заменить на соответствующий столбец, то полученная матрица называется транспонирующей .Две матрицы называются равными , если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны .

2.Операции над матрицами. Над матрицами можно осуществлять следующие операции: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матриц. 1.Что бы сложить матрицы одинаковой размерности нужно сложить их в соответствующие элемент. 2.при вычитании матриц одинаковой размерности, нужно вычесть их соответствующие элементы. 3.Что бы умножить матрицу на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число .4. умножение матриц. Умножать можно матрицы. если количество столбцов 1-ой матрицы = количеству строк 2-ой матрицы. Свойства сложения матриц и умножение матриц на число : 1.А+В=В+А

2.А+(В+С)=(А+В)+С

3.А+0=А

4. А-А=0

5. (А+В)^Т=А^Т+В^Т

6. 1*А=А

7. α(А+В)= α А + α В

8.(α +β ) = α А + β А

9. α (β А ) = (α β ) * А = β ( α А)

Свойства умножения матриц

1.А(ВС)=(АВ)С

2.А(В+С)= АВ+АС

3.(А=В)С) =АС +ВС

4.Α (АВ)= (α А)В= А (α В)

5.(АВ)^Т=В^Т*А^Т

7.Метод Гаусса

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

Получим:

,

гдеd_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij= a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

4.Свойство определителей 1)Значение определителя неизменно, если его заменить на соответствующие столбцы.2)Перестоновка 2-х любых строк или столбцов меняет знак определителя.3)Общий множетель элементов какой либо строки или какого либо столбца можно вынесть за знак определителя.4)Определитель имеющий 2 одинаковых строки или 2 одинаковых столбца =0. 5)Определитель имеющий нулевую строку или нулевой столбец =0.6)Если соответствующий элемент 2-х столбцов или2-х строк определителя пропорциональны то определитель равен 0.7)Велечина определителя не изменяется если к элементам к какой либо строки или какого либо столбца прибавить соответствующие элементы строки (столбца)умножить на одно и тоже число. 8)Минором некоторого элемента называется определитель полученный из данного определителя путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых находится этот элемент. любой определитель можно разложить по элементам любой строки или любого столбца.

5. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Пусть дана система уравнений: a₁₁х₁+а₁₂х₂=в₁

a₂₁х₁+а₂₁х₂=в₂ .

∆ = - основной определитель системы;

∆= ;∆₁=– вспомогат. определители.

1.∆≠0. Система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера. Х₁=; Х₂=. 2.∆=∆₁=∆₂=0. Система имеет бесконечное множество решений. 3.∆=0, а хотя бы один из вспомог-х определителей отличен от 0. В этом случае, система решений не имеет.

6.Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Пусть дана квадратная матрица n порядка А = , квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель ≠ 0 и вырожденной если ее определитель = 0

Матрицей союзной к матрице А называется матрицей вида А*=.

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие А^-1*А=А*А^-1=Е, где Е – единичная матрица n порядка.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, которая находится по формуле .

Систему уравнений можно записать матричным видом следующим образом А_х=В, где А = - основная матрицы системы;.

Для решения системы в матричном виде до множим матричное уравнение А_х=В слева на А^-1

А^-1*А_х =А^-1*В; Е_х=А^-1В; х=А^-1В – решение системы уравнений в матричном виде.

8. Арифметические векторы. Линейные операции над векторами.

n-мерным арифметическим вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел. Числа составляющие вектор называется координатой вектора.

Размерностью вектора называется кол-во его координат.

Обозначение вектора : а

Упорядоченный набор означает, что в наборе чисел задающим данный вектор нельзя в общем случае менять местами координаты.

= (₁, ₂ … _n) – заданы координаты вектора.

Координаты вектора можно записать в виде столбца.

а₁

= а₂

а_n

Вектор называется нулевым если все его координаты = 0 и обозначаются

Два вектора называются равными если равны их соответственно координаты.

==

Равенство двух векторов возможно в случае, когда эти векторы имеют одинаковую размерность.

К операциям над векторами относится сумма векторов и произведение вектора на число.

Сумма векторов a и b называются вектор с равный вектору a+b

=+=(a₁+b₁;a₂+b₂; … ; a_n+b_n)

Свойства сложений:

1. +=+

2. +(+)=+)+

3. +=

-– вектор коорд. Которого противоположны соответственно координатам вектора, тогда

-= (-a₁; -a₂ …-a_n) называется противоположным вектору

4. +(-)=

Использ. Понятие противоположного вектора можно ввести операцию вычитания вектора.

Разность векторов a и b называется вектор =-=+(-)

1. -=-(-)

2. –(-)=

3. -(-)=+

Произведением числа α на вектор а называ6тся вектор =α=(α; α… α)

Свойства произведений вектора на число:

1. α(+)=α+α 2) (α+β)=α+β

3)(αβ)=α(β)

4)α(β)=β(α)

5)1*=6) 0*=7)α*=.

Сложение векторов и умножение вектора на число удовлетворенное перечисленным св-вам называется линейными операциями на вектор.

Множество всех n-мерных векторов с ведением на этом множестве линейных операций называется n-мерным арифметическим векторным пространством и обозначается Rⁿ.

Из школьного курса 3 арифметических векторных пространства.

R¹=R – множество действительных чисел.

R² – множество пар чисел вида (а₁, а₂) или (х;у) – координаты точки на прямоугольную систему координат на плоскости.

R³ – тройки чисел (а₁;а₂;а₃) или (x;y;z) которые являются координатами точек в пространстве.

Пусть дано mn-мерных векторов и m действительных чисел α₁;α₂; … ;α_m, тогда выражение вида

α₁+α₂+… +α_m, тогда выражение вида называется линейным комбинированием данных векторов ;; … ;. При этом числа,…называются коэффициентом линейных комбинаций.

Линейные комбинации n-мерных векторов, также являются n-мерных векторов.

Представление вектора в виде линейной комбинации векторов,, … ,, называется разложение векторапо системе вектора,, … ,.

–линейная комбинация. =α₁+α₂+… +α_m

Числа α₁, α₂, … , α_m называются коэффициентом разложения.