Лабораторные_работы_ Атомка / BOOKS / Практикум по атомной физике

11.Объясните происхождение кольцевых и пятнистых электронограмм.

12.Вывод соотношения для диаметра колец на электронограмме.

13.Объяснить дифракцию электронов со статистической точки зрения.

14.Как реализуется компьютерное моделирование дифракции электронов?

15.Приборы и принципы электронографии.

Лабораторная работа ¹ 4

УШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ

Цель работы. Изучение механизмов уширения спектральных линий. Получение контуров спектральных линий ртути от различных источников и оценка вклада в уширение линий ртути различных физических механизмов.

Естественная ширина спектральных линий. Классическое рассмотрение. Движение связанного электрона в атоме, согласно классической механике, можно рассматривать как наложение гармонических движений, представляя проекции вектора перемещений r(t) в виде ряда Фурье, например:

i

При этом, согласно классической электродинамике, движущийся по гармоническому закону с частотой v = w/2p и амплитудой аi: xi =aicos(wt + j)= aicos(2pn t+ j) заряд e непрерывно испускает монохроматическое излучение той же частоты, уносящее за единицу времени энергию

Wi = 4p3e2ai2n4/(3c3e0),

где с — скорость света; e0 — электрическая постоянная. Для линейного гармонического осциллятора, обладающего в начальный момент времени энергией Е0 и не подверженного действию внешних сил, это приводит к затуханию колебаний по закону

E(t) = E0 exp (–g0 t) = E0 exp (–t/t0).

Коэффициент затухания g0 и характерное время затухания t0 выражаются следующим образом: g0 = 1/t0 = 2pe2n2/(3me0c3), где е — величина электрического заряда; m — его масса.

41

Затухающие колебания не являются гармоническими, и, следовательно, излучение оказывается не строго монохромати- ческим, а характеризуется непрерывным набором частот в некотором интервале. В результате спектральная линия, соответствующая такому осциллятору, имеет некоторую ширину, называемую естественной.

Для интенсивности излучения, отнесенной к единично-

дящегося на интервал частот от v äî v + dv), можно получить формулу

График этой зависимости In (рис. 1.15) представляет собой естественный контур линии. Полушириной линии называется ширина ее контура при ординате, равной половине максимального значения In(n). Легко проверить, что максимум интенсивности In, равный I0, достигается при n=n0, а ее половинное зна- чение In= I0/2 — ïðè n = n0 ± g0/4. Таким образом, для естественной полуширины имеем

лениям при изменении стационарного состояния атома испускается

или поглощается квант света с энергией, определяемой по формуле (1.6). Спонтанные (самопроизвольные) переходы с i-уров- ня на k-уровень характеризуются коэффициентом Эйнштейна Aik —

42

вероятностью перехода в единицу времени, так что число спонтанных переходов в единице объема за время dt равно dZik = Aiknidt, ãäå ïi — заселенность i-уровня (число атомов с энергией Еi в единице объема). Отсюда следует, что убыль населенности за время dt в результате спонтанных переходов на всe нижележащие уровни определяется суммой

–dni = ∑ dZik = ni ∑ Aik .

kk

Интегрируя, получаем

ni ( t ) = ni ( 0 )exp( − Ai t ) = ni ( 0 )exp( − t / τi ),

k

Отождествляя в соотношении неопределенностей (1.7) Dt со временем жизни стационарного состояния ti, à DE — с шириной уровня энергии, получаем

∆ Ei ≈ D / ôi = DAi = ∑ Aik ,

k

так что все уровни, за исключением основного, имеют отлич- ную от нуля ширину. Соответственно для перехода между уровнями получится не строго определенная частота uik, а интервал частот (рис. 1.15), характеризуемый величиной

В квантовой электродинамике доказывается, что при этом контур линии выражается формулой, совпадающей по виду с классической формулой (1.54), в которую, однако, вместо g0 следует подставлять величину

gik = 1/ti + 1/tk = Ai + Ak;

таким образом,

а формула (1.55) дает как раз естественную полуширину спектральной линии в шкале частот.

Уширение спектральных линий за счет эффекта Доплера и столкновений. Изложенная выше теория относится к изолированному покоящемуся атому. Наблюдаемая на опыте ширина

43

спектральных линий, как правило, значительно больше естественной ширины. Рассмотрим причины дополнительного уширения линий, вызванного тепловым движением атомов.

1. Доплеровское уширение. Тепловое движение приводит к тому что у одной части атомов имеется составляющая скорости u, направленная к наблюдателю, а у другой — от наблюдателя. В первом случае будет наблюдаться увеличенная частота, а во втором — уменьшенная. По величине этот (доплеровский) сдвиг

частоты равен

(Dn/n)Äîïë = u/c.

Исходя из средней кинетической энергии атома 3kT/2, можно принять Mu2/2» (1/2)kT и сделать оценку:

Здесь k — постоянная Больцмана; T — температура; М — масса атома; NA — число Авогадро; Аr — относительная атомная масса; R — универсальная газовая постоянная.

Более точное рассмотрение дает для доплеровской полуширины следующее выражение:

2. Уширение из-за столкновений. В результате столкновений время жизни атома на некотором уровне будет (в среднем) ограничено величиной tñò — средним промежутком времени между двумя столкновениями, что приводит к эффективному уширению уровней энергии, которые можно оценить исходя из соотношения неопределенностей (1.7): DÅñò » D /tñò. Вследствие этого произойдет уширение спектральных линий:

Для оценки tñò заметим, что внутрь воображаемого цилиндра с радиусом основания 2rýô и высотой udt (рис. 1.16) попадут 4p rýô2u dtN центров атомов (rýô — эффективный радиус атома, N — число атомов в единице объема). Таким образом, рассматриваемый атом за единицу времени испытает в среднем 4prýô2uN столкновений и, следовательно, tñò = 1/(4prýô2uN). Äëÿ

44

газа при температуре T и давлении р, используя соотношения р = NkT, <mu2/2> = (3/2)kT, можно получить

Заметим, что учет движения остальных атомов несколько уменьшил бы время tñò. Используя полученную формулу для tñò и соотношение (1.56), переходя к длинам волн, получаем оценку для ударного уширения спектральных

ñ Ar RT

Строгая теория должна принимать во внимание воздействие на процесс испускания света некоторым атомом

всех атомов, окружающих его. Это является весьма сложной задачей. При использовании формулы (1.57) следует учитывать ее приближенный характер и не отождествлять rýô с газокинетическим размером атома.

Упражнение 1

В данной работе изучается зависимость уширения спектральной линии ртути l = 435,83 нм от условий возбуждения. Участок спектра, содержащий линию, фотографируется на фотопластинку при двух различных источниках света: ртутных лампах ПРК-4 и ДРШ-250. В лампе ПРК-4 светится ртутный пар не очень большой плотности (давление p= I атм), в то время как в лампе ДРШ-250 давление ртутного пара составляет около 15 атм. Понятно, что во втором случае спектральные линии оказываются более широкими.

Работа состоит в обработке спектрограмм, отснятых на спектрографе ИСП-51 с камерой УФ-90 либо СТЭ-1 (приложение 2), которые обладают высокой разрешающей способностью.

Почернение спектрограммы в пределах спектральной линии зависит от интенсивности излучения, отнесенной к единичному интервалу частот In. При соответствующем выборе экспозиции

45

в процессе съемки величина пропускания света DI тем или иным участком спектрограммы оказывается обратно пропорциональной интенсивности In. Чтобы построить экспериментальный контур спектральной линии, необходимо произвести фотометрирование спектрограммы, состоящее в измерении величины пропускания DI через достаточно малые интервалы вдоль нужного участка спектра. В данной работе пропускание измеряют с помощью микрофотометра, микроденситометра (приложение 4) или сканера.

В ходе фотометрирования непосредственно измеряют отношение интенсивности света I, проходящего через небольшой участок спектральной линии, к интенсивности света Iô, проходящего через такой же участок вблизи линии (фоновой интенсивности). Это отношение, по определению, равно пропусканию

DI,ò.å. DI = I/Iô.

Следовательно, интенсивность In оказывается прямо пропорциональной величине I/Iô.

Таким образом, для определения полуширины спектральной линии необходимо прежде всего построить график зависимости I/Iô от линейной координаты х, которую измеряют по лимбу микрометрического винта микрофотометра или микроденситометра. По графику находят геометрическую полуширину линии Dх как ширину графика на половине его высоты. Умножив Dх на обратную линейную дисперсию D*, получим искомую полуширину спектральной линии, выраженную в нанометрах.

Величину D* также находят из спектрограммы. Фотометрируемый ее участок выбирают таким образом, чтобы он включал в себя, помимо линии l = 435,83нм, также линии l= 434,75 íì è l= 433,92íì.

Последние две линии удобно использовать для определения

D* с помощью соотношения D* = ½l1 – l2½/½x1 – õ2½, ãäå x1 è õ2 — отсчеты микрометрического винта, соответствующие максиму-

мам почернения линий l1 è l2.

Экспериментальные значения полуширины сравнивают с тео-

ретическими величинами Äëåñòêë , Äëåñòêâ , ÄëÄ , Äëñò , обусловленными различными физическими механизмами в условиях возбужде-

ния двух ртутных ламп: ПРК-4 (р = 10•105Ïà, Ò = 500Ê) è ÄÐØ-250 (ð = 1,5•106 Па, Т = 1000 К). Необходимые для рас- чета значения вероятностей переходов Аik приведены на диаграмме (рис. 1.17). Эффективный радиус атома ртути следует принять равным rýô = 1,5íì.

46

Ðèñ. 1.17.

Упражнение 2

Второй вариант выполнения работы предусматривает фотоэлектрический метод регистрации спектров. В качестве базовой аппаратуры используется спектрально-вычислительный универсальный комплекс КСВУ-23, который включает монохроматор, цифровой вольтметр, самописец, ЭВМ, дополнительные устройства сопряжения. Комплекс позволяет регистрировать спектры различных источников в диапазоне от 200 до 1200 нм при величине обратной дисперсии 1,3 нм/мм. Такая аппаратура дает возможность сразу получать готовые контуры линий, по которым находят их полуширину. Для обработки результатов можно использовать ЭВМ, входящую в комплекс.

Задание

1.Изучить устройство и принцип действия приборов по приложению и прилагаемым непосредственно на рабочем месте инструкциям.

2.Получить спектрограммы излучения ртутного пара при различных условиях возбуждения (в лампах ÏÐÊ-4 è ÄÐØ-250).

3.Пользуясь спектрограммами, построить контуры спектральной линии ртути l = 435,83нм и найти их полуширину для обеих ламп.

4.Найти обратную линейную дисперсию.

47

нм при условиях возбуждения двух ртутных ламп.

6.Рассчитать погрешности. Результаты представить в виде графиков и таблиц.

7.Выяснить главную причину уширения спектральной линии ртути l = 435,83нм в излучении ламп ПРК-4 и ДРШ-250,

оценить среднее время жизни атома ртути в состоянии 3S1 и уточнить значение эффективного радиуса атома rýô. Выводы записать в тетради.

Контрольные вопросы

1.Объяснить происхождение естественной ширины спектральной линии (классическая и квантовая модели).

2.Раскрыть содержание соотношения неопределенностей (1.7).

3.Как вводятся коэффициенты Эйнштейна, в чем состоит их физический смысл?

4.Объяснить физический механизм доплеровского уширения спектральной линии.

5.Какова физическая причина уширения спектральных линий за счет столкновений атомов?

48

Глава 2

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ

2.1. Уравнение Шредингера и его решения

Стационарное уравнение Шредингера является уравнением на собственные значения оператора Гамильтона и представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Для одномерных задач оно выглядит следующим образом:

есть оператор Гамильтона. Наиболее удобная для поисков решения математическая форма уравнения Шредингера имеет вид:

Специфика конкретной физической задачи заключена в потенциальной функции U(x). Иначе говоря, одна физическая зада- ча отличается от другой видом потенциальной функции U(x), включаемой в уравнение Шредингера.

Решить дифференциальное уравнение (2.3) — это значит найти удовлетворяющую ему волновую функцию y(x). В принципе, уравнение (2.3) может быть решено при любых значениях полной энергии Е, но не все такие математические решения физически приемлемы. Поэтому условие физической приемлемости является существенной частью каждой рассматриваемой задачи. Физический смысл имеют лишь те решения, при которых волновая функция y является однозначной, конечной, непрерывной и гладкой. В частности, требование конечности связано с вероятностной интерпретацией волновой функции, откуда следует, что она должна быть квадратично интегрируемой:

49

В связи с этим следует исключить математические решения, при которых волновая функция расходится, т.е. стремится к бесконечности при возрастании или убывании координаты.

Значения энергии Е, при которых стационарное уравнение Шредингера (2.3) имеет физически приемлемые решения, называются собственными значениями оператора Гамильтона, или

сoбcтвенными значениями энергии. Соответствующие волновые функции носят название собственных функций этого оператора.

Наложив условия физической приемлемости, мы обнаружим, что в случае финитного (ограниченного) движения энергия Е не может быть произвольной, т.е. спектр собственных значений энергии оказывается дискретным. Случай финитного движения соответствует связанной частице, например, электрону в атоме или нуклону в ядре. В то же время при инфинитном движении физически приемлемые решения стационарного уравнения Шредингера получаются для любых значений энергии Е, т.е. спектр собственных значений энергии оказывается сплошным. Инфинитное движение, в частности, совершает электрон, оторванный от атома в результате ионизации.

Таким образом, из уравнения Шредингера совершенно естественно вытекает важнейшая особенность атомных систем, резко отличающая их от систем, подчиняющихся законам класси- ческой механики: существование дискретных уровней энергии.

2.2. Вектор плотности потока вероятности

Как уже отмечалось, волновая функция описывает состоя-

H

ние частицы. В целом это означает, что в Y (r ,t) заключена информация обо всех физических величинах, характеризующих ее поведение (координатах, импульсе, моменте импульса и т.д.). В частности, зная Y , можно построить следующие величины: квадрат модуля волновой функции

Выражение (2.5) описывает местоположение частицы, являясь величиной, пропорциональной плотности вероятности (т.е. вероятности, отнесенной к единице объема), обнаружить частицу

50