Лабораторные_работы_ Атомка / BOOKS / Практикум по атомной физике

ямы. Зарисовать эти графики. Отметить особенности, которые отличают их от графиков волновых функций связанной частицы.

6.Для линейного гармонического осциллятора с заданным коэффициентом жесткости найти несколько собственных зна- чений энергии и собственных функций основного и первых возбужденных состояний.

Зарисовать графики собственных функций (вместе с графиком параболической потенциальной ямы), обратить внимание на проникание частицы в классически запрещенную область.

Сравнить найденные собственные значения с рассчитанными по формуле (2.53).

7.Выяснить связь между номером уровня энергии и числом узлов соответствующей волновой функции для обоих случаев.

Контрольные вопросы

1.Волновая функция и уравнение Шредингера.

2.Постановка квантово-механических задач на основе стационарного уравнения Шредингера.

3.Все ли решения уравнения Шредингера имеют физический смысл?

4.Связь волновой функции с вероятностью.

5.В чем причина квантования энергии? Всегда ли энергия квантуется?

6.Понятие собственных значений энергий и собственных функций.

7.Особенности решения уравнения Шредингера для слу- чаев финитного и инфинитного движения.

8.Может ли уровень энергии совпасть с дном потенциальной ямы?

9.Аналитическое решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокой прямоугольной ямы.

10.Аналитическое решения уравнения Шредингера для прямоугольной потенциальной ямы конечной глубины.

11.Результаты аналитического решения задачи линейного гармонического осциллятора.

12.Алгоритм Эйлера-Кромера.

13.Способ задания граничных условий в случае потенциальной ямы.

81

Лабораторная работа ¹ 7

УРОВНИ ЭНЕРГИИ И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДОРОДА

Цель работы: Нахождение уровней энергии и радиальных волновых функций атома водорода путем численного решения стационарного уравнения Шредингера; выявление сущности вырождения уровней энергии и специфики решений при разных значениях орбитального квантового числа; изучение радиального распределения электронной плотности.

Постановка задачи об атоме водорода в квантовой механике.

Атом водорода состоит из двух частиц — положительно заряженного ядра с зарядом +е и электрона –е, которые связаны

силой кулоновского притяжения. Положение электрона в ато-

H

ме определяется радиусом-вектором r с началом в ядре, при- чем масса ядра принимается бесконечно большой. Массу электрона обозначим m. Соответствующая потенциальная энергия

зависит только от абсолютной величины радиуса-вектора. Это означает, что задача является сферически симметричной (или центрально-симметричной).

Полная информация о стационарных состояниях атома водорода может быть получена из физически приемлемых решений стационарного трехмерного уравнения Шредингера:

в котором оператор Гамильтона включает в себя потенциальную функцию (2.54):

Центральная симметрия системы делает сферические координаты наиболее удобными для поисков нужных решений. В этих координатах оператор Гамильтона может быть представлен следующим образом:

82

H

ãäå L2 — это оператор квадрата момента импульса (углового момента).

Одномерное уравнение Шредингера для радиальной функции. Эффективная потенциальная энергия. Известно, что при движении частицы в статическом силовом поле сохраняется ее полная энергия Е, а если оно к тому жеH обладает центральной симметрией, — то и момент импульса L . В классической механике это означает, что одновременно измеримы и постоянны во времени четыре независимые величины Е, Lõ, Ló, Lz. В квантовой же механике центральная симметрия задачи приводит к тому, что в стационарных состояниях, кроме энергии Е, могут иметь

определенные постоянные еще две величины: квадрат момента

H 2

импульса L и одна из его проекций, например, Lz. В таких состояниях волновая функция должна удовлетворять, кроме

уравнения Шредингера для стационарных состояний (2.55), еще

H

и уравнениям на собственные значения операторов Lz è L2 :

^

Структура операторов L2 , Lz такова, что физически приемле-

мые решения уравнений (2.58) и (2.59) имеют место лишь для

^

следующих значений L2 , Lz :

Это и есть собственные значения квадрата углового момента и его проекции. Здесь l означает орбитальное квантовое число, которое принимает одно из значений:

ml — магнитное орбитальное квантовое число, причем

83

Решениями уравнений (2.58) и (2.59) являются собственные функции, которые имеют вид, зависящий от квантовых чисел l и ml:

Квантовые состояния атома, отвечающие различным значениям орбитального квантового числа l, принято обозначать латинскими буквами:

Собственные функции (2.64) операторов L2 , L z представляют

собой произведения трех функций: радиальной R(r), полярной θl , ml (θ ) и азимутальной Ôml (ϕ) = eimlϕ.

Существенно, что каждая из них является функцией одной из сферических координат. Конкретный вид полярной и азимутальной функций зависит от квантовых чисел l и ml ( таблицы полярных функций можно найти в литературе по атомной физике и квантовой механике).

Что касается радиальной функции R(r), то уравнения (2.58)

и (2.59) ее не определяют. Она может быть найдена из условия,

H^ ^

что собственные функции (2.64) операторов L2 , L z одновременно

должны быть и собственными функциями оператора Гамиль-

òîíà H , т.е. удовлетворять уравнению Шредингера (2.55). Если

подставить (2.64) в (2.55) с учетом конкретного вида операторов

H^

Гамильтона (2.57) и учесть, что действие оператора L2 íà ψ l ,ml

можно заменить произведением D2l( l + 1)ψ l ,ml , ò.ê. ψ l ,ml является решением уравнения (2.58), то мы получим уравнение для радиальной функции.

Его можно существенно упростить, вводя новую функцию

84

Тогда уравнение (2.65) преобразуется к хорошо известному стационарному уравнению Шредингера одномерной задачи:

разными потенциальными ямами (рис. 2.16), соответствующими разным значениям орбитального квантового числа (s-задача, p-задача, d-задача и т.д.).

Качественный анализ одномерных радиальных задач. Из вида потенциальных кривых (рис. 2.16) следует, что будут квантоваться лишь отрицательные значения энергии Е, поскольку именно для Е < 0 движение электрона является финитным и отвечает связанным состояниям атома. При положительных

85

энергиях (Е > 0) движение инфинитно (атом ионизован) и квантования энергии нет.

E1,0

f1,0

Ðèñ. 2.16.

Поскольку радиальная координата r не может быть отрицательной, движение при r < 0 невозможно, и, следовательно, волновая функция f(r) должна обращаться в нуль при r = 0. Именно такое граничное условие соответствует бесконечно высокой потенциальной энергии (2.67). Что касается s-ямы, то она является «бездонной». Ее правую стенку образует кулоновская кривая –е2/ r, а в качестве левой можно представить бесконеч- но большой скачок потенциала при r = 0.

Если в случае s-ямы классически разрешенная для движения область слева доходит вплоть до начала координат (r = 0), то в p-, d-ямах (вообще во всех ямах с l ¹ 0) ее левая граница rë, которая определяется из условия Ul (rë) = Е, будет тем дальше от начала координат, чем больше значение орбитального квантового числа.

Как известно, в классически запрещенной области волновая функция f(r), которая отвечает физически приемлемым решениям, очень быстро затухает. Поэтому при r ® 0 в случае p-, d-ям f(r) убывает значительно быстрее, чем в случае s-ямы, где f(r) сохраняет осциллирующий характер вплоть до r = 0. Это обстоятельство приводит к тому, что радиальная функция R(r),

86

которая в конечном счете нам и нужна, ведет себя в центре атома по-разному для s-состояний и состояний с отличным от нуля орбитальным моментом (l ¹ 0)

Поведение радиальной функции R(r) вблизи ядра можно объяснить так: на частицу действует центробежная отталкивающая сила, которой отвечает эффективная потенциальная энергия

D 2l( l + 1). 2mr 2

Эта энергия ограничивает классически доступную область движения со стороны малых r. В квантовой механике частица проникает в область, где по классической механике она имела бы мнимую скорость. Но волновая функция быстро спадает при углублении в эту область, т.е. по мере приближения к началу координат. Закон убывания оказывается в данном случае степенным: с приближением к началу координат радиальная функция уменьшается, как rl, т.е. закон уменьшения тем сильнее, чем выше барьер. При l = 0 барьер отсутствует, и ничто не мешает электрону подойти сколь угодно близко к ядру.

В классически разрешенной области f(r) осциллирует (однако не по гармоническому закону!), причем физически приемлемым решениям соответствует размещение целого числа полуволн в этой области (начиная с одной полуволны). Решение s-задачи приводит в результате к собственным функциям:

Решение р-задачи (l = 1) дает собственные функции и собственные значения:

87

В случае d-задачи получается:

Чем большее значение имеет орбитальное квантовое число l, тем мельче оказывается соответствующая потенциальная яма, собственные значения энергии (отрицательные) начинаются для этой ямы со все больших величин, асимптотически приближаясь к нулю при l ® ¥. (Смысл индексов в выражениях (2.61–2.76) раскрывается последующими формулами (2.77) и рисунком 2.16).

Результаты аналитического решения радиальных задач.

Аналитическое решение уравнения Шредингера (2.68) позволяет найти собственные функции и собственные значения энергии при разных l. Результаты решения имеют одну интересную особенность. Оказывается, что каждое собственное значение энергии любой задачи при l > 0 (p-, d-, f- задачи и т.д.) обязательно совпадает с одним из собственных значений s-задачи:

Ån,0= Ån,1= Ån,2= … = Ån,n–1= Ån.

Ïðè ýòîì Ån выражается простой формулой, известной еще из модельной теории Бора (1.15). n носит название главного квантового числа и принимает одно из значений n = 1,2,3,...,¥.

Что касается орбитального квантового числа l, то, очевидно, его значение не может превышать (n – 1): l = 0,1,2,3,…, n – 1.

Совпадение собственных значений для разных квантовых состояний, описываемых разными собственными функциями, носит название вырождения, а такие собственные значения называются вырожденными. В случае водорода вырождение уровней энергии по орбитальному квантовому числу является специфическим. Оно обусловлено тем, что в соответствии с законом Кулона потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром убывает обратно пропорционально первой степени расстояния между ними. По этой причине вырождение в атоме водорода еще называют кулоновским. В многоэлектронных атомах зависимость потенциальной энергии от r оказывается иной,

88

и поэтому вырождение энергии по орбитальному квантовому числу исчезает.

Таким образом, собственному значению энергии Еn отвеча- ет не одна, а n – 1 разных радиальных функций

Математическую структуру радиальных функций удобнее всего представлять в безразмерных координатах:

ãäå r1 есть радиус Бора (см. гл.1. лабораторная работа ¹ 1), тогда

Ðn,l есть полином степени n – l – 1, который определяет число узлов волновой функции (т.е. ее прохождение через нуль). r l определяет поведение волновой функции при малых r , т.е. возле атомного ядра. Экспоненциальный множитель определяет поведение волновой функции на периферии атома.

Волновые функции и распределение электронной плотности.

Таким образом, на основании (2.64), волновая функция атома водорода представляет собой произведение трех функций

èее вид зависит от трех квантовых чисел n, l, ml.

Àпоскольку энергия зависит только от главного квантового числа n, то уровню энергии отвечает не одна, а несколько волновых функций, число которых можно найти, суммируя число состояний при заданных n и l по всем l от 0 до n – 1:

Число gn носит название кратность вырождения. Волновые функции атома водорода имеют важное значение,

поскольку, в частности, они определяют распределение вероятности нахождения электрона в пространстве. Вероятность нахождения электрона в некоторой бесконечно малой области с объемом dV равна

89

2

Следовательно, квадрат волновой функции øn,l,ml имеет смысл объемной плотности вероятности, которую часто называют электронной плотностью.

Решая уравнение Шредингера (2.55), волновую функцию

øn,l,ml можно найти лишь с точностью до постоянного коэффициента. Этот коэффициент С определяют из очевидного уравнения нормировки:

Элемент объема в сферических координатах имеет вид

Если учесть, что øn,l,ml , является произведением трех функций, условие нормировки можно записать:

Приравнивая каждый из входящих в это выражение интегралов к единице, находят значения трех нормировочных коэффициентов Cr ,Cè ,Cϕ, причем

2

Поскольку øn,l,ml не зависит от j (в связи с тем, что

= 1), то объемные распределения электронной плотности («электронные облака») для всех состояний представляют собой тела вращения относительно оси Z. В случае s-состояний полярная функция θl , m (θ ) вырождается в константу, что приводит к сферической Lсимметрии электронной плотности этих состояний. Однако в других состояниях угловые распределения электронной плотности неизотропны, вследствие этого электронные облака бывают сложными, приобретая иногда многолепестковые формы (усложняясь по мере роста l ).

Часто пользуются радиальным распределением электронной плотности. Чтобы получить формулу для этого распределения, необходимо выразить вероятность dW(r) нахождения электрона в шаровом слое толщиной dr:

90