Лабораторные_работы_ Атомка / BOOKS / Практикум по атомной физике

Если мы используем нормированные волновые функции, то входящие в это выражение оба интеграла равны единице, и, следовательно,

откуда следует, что радиальная плотность вероятности dW(r)/dr распределена в соответствии с соотношением:

dr

n,l

Наиболее простым это распределение оказывается для состояния с максимально возможным для данного n значением квантового числа l = n – 1. Оно имеет один максимум, удаленный от центра на расстояние n2r1. В частности, в состоянии 1s наиболее вероятное значение r в точности равно радиусу Бора r1.

Вообще же в радиальном распределении электронной плотности может быть несколько максимумов. Их количество зависит от того, какие значения в данном состоянии имеют квантовые числа l и n.

Упражнение

Практической частью данной лабораторной работы является численное решение радиальных задач. С помощью персонального компьютера с графическим дисплеем выполняется численное решение стационарного уравнения Шредингера (2.68), которое можно записать в виде:

ãäå Ue(r) есть эффективная потенциальная функция (2.67), при- чем ее конкретное выражение зависит от орбитального квантового числа. Следовательно, каждому значению орбитального квантового числа соответствует отдельное уравнение, т.е. своя задача. В работе рассматриваются s-, p-, d-задачи, для которых значения орбитального квантового числа равны 0, 1 и 2.

Радиальную координату удобно выражать в ангстремах (1Å = 10–8см), а энергию — в электронвольтах. В этих единицах

91

уравнение Шредингера и эффективная потенциальная функция принимают вид:

Для численного решения уравнения (2.92), как и в предыдущих работах, используется алгоритм Эйлера-Кромера. Два краевых условия, необходимых для реализации алгоритма, в случае s-задачи задаются при r = 0: значение волновой функции f(0)=0 и значение ее первой производной f ¢(0) ¹ 0. Поскольку в p- и d-состояниях в центре обращается в нуль не только волновая функция f (r), но и ее первая производная, то в слу- чаях p- и d-задач их значения приходится задавать на некотором небольшом удалении от центра (например, при r = 0,01Å), где значения волновой функции еще можно считать нулевыми, а значения производных хотя и невелики, но уже отличны от нуля. При этом величина производной зависит от орбитального квантового числа: она тем меньше, чем больше l.

Ход решения отображается на дисплее либо графиком волновой функции f (r), либо графиком радиальной плотности вероятности r2R2(r) = f 2(r).

Поиск физически приемлемых решений состоит в нахождении таких значений энергии Е, при которых график волновой функции не расходится в заданных пределах изменения радиальной координаты. Процесс поиска облегчается тем обстоятельством, что при отклонении Е от собственного значения в большую или меньшую сторону волновая функция расходится в разных направлениях.

Точность найденных таким образом собственных значений Е зависит от величины dr шага итерации, выполняемого в ходе решения. Чем меньше величина шага, тем выше точность, однако при этом увеличивается время вычислений.

В компьютерной программе решение уравнения Шредингера предваряется построением графика зависимости эффективной потенциальной энергии Ul от r, причем начало координат находится в точке (r = 0, U = 0). На график наносится масштабная сетка вертикальных линий с шагом, равным удвоенному значению радиуса Бора 2r1 = 1,058Å. С помощью этой сетки можно выполнять коли- чественную оценку характерных размеров электронных «облаков».

92

Отображаемые на дисплее графики радиальной волновой функции или электронной плотности для разных уровней Е располагаются каждый в своей системе координат. Горизонтальные оси этих координат совпадают с осью r графика эффективной потенциальной функции, а вертикальные оси, вдоль которых в относительных единицах откладываются f(r) èëè f 2(r), начинаются на соответствующих уровнях энергии.

Следует отметить, что в данной программе волновые функции не нормируются.

Порядок работы с программой. Для численного решения s-, p-, d-задач предназначена программа с именем «А16», написанная на языке Бейсик.

После загрузки программы и ее запуска (командой RUN) при появлении соответствующего запроса необходимо выбрать выводимый на экран график радиальной волновой функции f(r) = R(r)r или радиальной плотности вероятности f 2(r). Для первоначального поиска уровней энергии удобнее пользоваться графиком волновой функции, поскольку направление расходимости этого графика (вверх или вниз) зависит от того, больше или меньше выбранное значение Е по сравнению с истинным собственным значением энергии. Далее следует выбрать размер шага dr. Рекомендуется зна- чение dr = 0,005Å, которое обеспечивает приемлемую точ- ность вычислений.

После этого задается значение орбитального квантового числа l (0,1 или 2). Удобнее начинать с l = 0, но возможна и любая иная последовательность. Процедура поисков нужных решений поясняется сообщениями, которые появляются на экране. При чрезмерной перегруженности экрана графиками можно произвести его очистку с помощью команды GOTO800. После этого последний график воспроизводится нажатием клавиши «ВВОД».

Если возникает необходимость изменить размер шага dr без повторного пуска программы, т.е. при сохранении прежних значений l и Е, это можно осуществить, набрав команду LET DR=…. (после появления сообщения «ОК»).

Чтобы построить графики радиальной плотности вероятности, следует повторно запустить программу командой RUN и воспользоваться найденными собственными значениями энергии Еn.

93

Задания к упражнению

1.Найти собственные значения энергии атома водорода в основном и трех возбужденных состояниях, проведя численное решение s-, p-, d-задач. Зарисовать графики радиальной функции f(r) и радиальной электронной плотности. Основываясь на анализе полученных результатов, объяснить сущность вырождения уровней энергии.

2.Пользуясь масштабной сеткой, оценить в радиусах Бора характерные размеры «электронных облаков» в разных состояниях. Сформулировать выявленные закономерности.

3.Найти несколько волновых функций при положительных значениях энергии. Зарисовать графики этих функций. Описать и объяснить особенности решений в этом случае. (Зна- чения Е брать не более 1 ¸ 2 эВ, чтобы графики не вышли за пределы экрана).

4.Используя полученные графики функции f(r), построить приблизительный ход графиков радиальной функции

R(r) = f(r)/r.

5.Используя выражение для эффективной потенциальной энергии (2.67), оценить энергию и размеры атома водорода в возбужденных состояниях (в электронвольтах и радиусах Бора).

6.Проверить численные значения коэффициентов в формулах (2.92) и (2.93), где энергия выражена в электронвольтах,

àr — в ангстремах.

Контрольные вопросы

1.Как формулируется квантово-механическая задача об атоме водорода?

2.Вид оператора Гамильтона в сферических координатах.

3.Уравнения на собственные значения операторов углового момента и результат их решения.

4.Квантование квадрата углового момента и его проекции.

5.Связь между собственными функциями операторов Гамильтона, квадрата углового момента и проекции углового момента.

6.Вывод уравнения для радиальной функции.

7.Эффективная потенциальная энергия.

94

8.За счет чего получается набор одномерных квантовых задач? Сколько этих задач?

9.Почему квантуются отрицательные значения энергии и не квантуются положительные?

10.Особенности хода радиальной функции вблизи ядра в задачах с разными l.

11.Сколько радиальных функций отвечают собственному значению энергии En ?

12.Математическая структура радиальных функций.

13.Структура полных волновых функций и их нормировка.

14.Квантовые числа атома водорода и их физический

смысл.

15.Дать обоснование формулы (2.82) для кратности вырождения уровней энергии.

16.Понятия электронной плотности и радиальной электронной плотности.

17.Как связано количество максимумов радиальной электронной плотности с квантовыми числами?

18.Содержание компьютерной программы по исследованию радиальных задач.

19.Как задаются краевые условия при численном решении радиальных задач?

20.От чего зависит точность численного решения?

95

Приложение

СИСТЕМЫ РЕГИСТРАЦИИ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

1. Физические принципы и классификация

Под оптическим излучением понимают электромагнитное излучение, приходящееся на спектральную область, включающую ультрафиолетовый, видимый и инфракрасный диапазон. При неупругом взаимодействии оптического излучения с веществом могут происходить процессы резонансного поглощения, рассеяния и переизлучения, отражающие индивидуальные свойства атомов и молекул, входящих в его состав. В связи с этим системы регистрации, чувствительные к процессам такого рода, имеют важное значение для исследований квантовых свойств и структуры вещества.

Под системой регистрации в широком смысле следует понимать экспериментальную систему, включающую источник и приемник излучения с разделяющими их кюветным отсеком и диспергирующим элементом. Назначение каждого из указанных модулей становится понятным в рамках простой схемы: опти- ческое излучение, испускаемое источником, попадает в кюветный отсек, содержащий пробу исследуемого вещества; вторич- ное свечение, испускаемое веществом после разложения в спектр диспергирующим элементом, собирается и анализируется на приемнике излучения.

Диспергирующий элемент, как обязательный модуль любой системы регистрации, выполняется, как правило, в виде спектрального прибора. Спектральные приборы условно можно разделить на следующие группы.

KМонохроматоры предназначены для выделения излу- чения в пределах заданного спектрального интервала. В монохроматорах всегда предусматривают возможность сканирования спектра, например, путем перемещения его относительно неподвижной выходной щели. Если монохроматор имеет несколько выходных щелей или приемник излучения позволяет одновременно регистрировать более одного спектрального интервала, его называют полихроматором.

KСпектроскопы — простейшие спектральные приборы, приспособленные для визуального наблюдения спектра какоголибо источника. Приемником излучения для спектроскопа служит

96

либо экран, на который выводится широкий спектральный интервал, либо глаз наблюдателя, рассматривающий при помощи окуляра некоторую узкую спектральную область dl.

KСпектрографы — приборы, приспособленные для фотографирования спектра какого-либо источника. В качестве приемника излучения спектрограф должен оснащаться кассетой для фотопленки или фотопластинки. Для рассмотрения увеличенного изображения на фотографической пластинке и измерения длины волны зарегистрированного излучения служат измерительные микроскопы, спектропроекторы и другие вспомогательные приборы. Интенсивность спектральной линии измеряют по ее почернению на фотографии спектра (спектрограмме). Вели- чину почернения линий на спектрограмме определяют на микрофотометрах или микроденситометрах.

KСпектрометры и спектрофотометры — сложные спектральные приборы, собранные на базе моноили полихроматоров со встроенными источниками и приемниками излучения, системами освещения входной щели, т.е. представляющие собой совокупную систему регистрации оптического излучения. Спектрофотометры отличаются от спектрометров тем, что их приемно-регистрирующие устройства позволяют получать спектры поглощения исследуемых объектов непосредственно в шкале пропускания, экстинции или оптической плотности.

Все спектральные приборы различаются по числу одновременно регистрируемых ими спектральных интервалов dl или числу каналов. Так, спектроскоп, проектирующий спектр на экран, спектрограф и спектрометр с полихроматором являются многоканальными. Спектроскоп с окуляром и спектрометр с монохроматором представляют собой одноканальные спектральные приборы.

Описанные спектральные приборы могут различаться также по типу диспергирующего элемента, используемого в монохроматоре: они могут быть призменными или дифракционными. Иногда в оптической схеме монохроматора с целью увели- чения дисперсии системы используют комбинации призм и дифракционных решеток. Принципиальным сходством систем регистрации оптического излучения на базе этих оптических элементов является выделение заданного спектрального интервала путем селективной фильтрации. В том же случае, когда выделение заданного спектрального интервала функционально переложено с оптического на электрический элемент, работающий

97

по принципу модуляции, спектральные приборы и системы регистрации выделяются в отдельный селективно-модулирующий класс. Другими словами, системы регистрации оптического излучения можно разделить на два класса по методу монохроматизации: селективной фильтрации и селективной модуляции. Примером системы, работающей по методу селективной модуляции, является Фурье-спектрометр, который применяется для регистрации излучения в инфракрасном диапазоне.

Рассмотрим основные системы регистрации оптического излучения, наиболее доступные для использования в условиях физического практикума.

2. Монохроматоры и спектрографы

Универсальный монохроматор УМ-2. Промышленная модель универсального монохроматора со стеклянной оптикой УМ-2 создана для работы в видимой области спектра и является очень удобной для учебных целей. Оптическая схема монохроматора включает входной и выходной коллиматоры, оптические оси которых расположены под углом 90î. В качестве диспергирующего элемента используется призма постоянного отклонения. Переход от одной области спектра к другой осуществляют с помощью барабана, вращение которого связано с поворотом призменного столика. По шкале барабана отмечается угол его поворота, который можно проградуировать по известному спектру. Вместо выходной щели в приборе можно устанавливать окуляр, что превращает его в спектроскоп. Вследствие небольшой дисперсии прибор можно успешно применять при работе с простыми эмиссиоными или абсорбционными спектрами. Прибор УМ-2 идеально подходит для выполнения упражнения 1 в лабораторной работе ¹ 1. Для этого на оптической схеме установки (рис. 1) исследуемый источник света 1 устанавливается на рельсе монохроматора УМ-2.

Свет источника концентрируется на его входной щели 3 с помощью конденсорной линзы 2. Концентрация света в нужном месте достигается перемещением конденсорной линзы вдоль рельса, а также ее вертикальным и боковым смещением. Спектр наблюдают через линзу 8 и окуляр 11. Поворотом диспергирующей призмы 7, осуществляемым с помощью барабана 9, нужная спектральная линия совмещается с находящимся в поле зрения окуляра 11 указателем 10, который освещается вспомогательной лампочкой через сменный светофильтр. (При подборе

98

Ðèñ.1.

светофильтра указатель может быть освещен нужным цветом.) Длина волны спектральной линии определяется по градусному отсчету на барабане 9 с помощью прилагаемого к прибору градуировочного графика. Ширина входной щели регулируется маховичком 4. Для питания вспомогательных источников света и подсветок монохроматора служит пульт управления.

Перед началом измерений проверяют правильность градуировки монохроматора, которая может нарушаться из-за смещения указателя. Для этого на рельсе устанавливают ртутную лампу, включают ее и добиваются с помощью конденсора равномерного освещения входной щели (на щель предварительно надевают белый колпачок с перекрестием в центре). Наблюдая зеленую линию в спектре ртути (l= 546,1нм), производят фокусировку сна- чала окуляра 11, а затем объектива 5 при минимальной ширине щели. Фокусировка окуляра достигается вращением его оправы с насечкой до появления четкой видимости указателя 10. Фокусировка объектива производится маховичком 6 до достижения резкой видимости спектральной линии совместно с указателем. После этого выводят линию на указатель, сравнивают градусный от- счет j’ барабана с его значением j, найденным по градуировочному графику, и вычисляют величину поправки Dj = j – j’. Подобным образом определяют поправки еще для нескольких линий ртутного спектра. Затем находят среднее арифметическое значение поправки Djñð, которое в дальнейшем используют при измерении длин волн. Поправку Djñð следует прибавлять ко всем отсче- там барабана j’. После того, как проверка градуировочного графика завершена, на рельсе заменяют ртутную лампу водородной, включают ее и конденсорной линзой концентрируют излучение лампы в яркое пятно на перекрестии колпачка. Удобнее использовать увеличенное изображение светового пятна, для чего конденсор следует располагать ближе к лампе (а не к монохроматору).

99

Спектрограф со скрещенной дисперсией СТЭ-1 предназначен для спектроскопических работ, требующих высокой дисперсии в широком спектральном диапазоне, фотографируемом при одной экспозиции. В лабораторном практикуме по атомной физике таким условиям соответствуют упражнения по определению изотопического сдвига спектральных линий и естественного расщепления спектральных линий атомов щелочных металлов.

Оптическая схема спектрографа и осветительной системы показана на рис. 2.

7

Ðèñ. 2.

Свет от источника 1 проходит трехлинзовый осветитель, состоящий из конденсоров 2, 3 и 4, щель 5, цилиндрическую линзу 6 и попадает на сферический зеркальный объектив 7 коллиматора, который отклоняет падающие на него лучи вниз под углом 4015¢. Параллельный пучок лучей, идущий от зеркального объектива, падает на сменную призму 8 (кварцевую или стеклянную), которая разлагает его в спектр в вертикальной плоскости. Затем пучок падает на сменную дифракционную решетку 9 (600 или 300 штр/мм), которая разлагает его в спектр в горизонтальной плоскости. После отражения от решетки монохроматические пучки снова проходят призму 8 и падают на плоское поворотное зеркало 10, направляющее их на сферический зеркальный объектив 11 камеры; отразившись от объектива,

100