Лабораторные_работы_ Атомка / BOOKS / Практикум по атомной физике

Особо следует подчеркнуть, что волна де Бройля и частица — это один и тот же объект. Реальность заключается в том, что частицы, созданные природой, обладают свойствами волн. Согласно общепринятой интерпретации волн де Бройля, волновым законам подчиняется некоторая величина y(x, y, z, t), описывающая состояние частицы и называемая ее волновой функцией. Волновая функция позволяет вычислить вероятность dW нахождения частицы в объеме dV возле точки с координатами x, y, z:

Отсюда следует, что

т.е. квадрат волновой функции имеет смысл плотности вероятности.

Импульс и энергия свободной частицы являются параметрами плоской волны де Бройля, которая в частном случае одномерного движения может быть представлена следующим образом

В процессе измерения координат частица локализуется измерительным прибором, поэтому область определения волновой функции (1.43), справедливой, как отмечалось, для свободной частицы, ограничивается теперь отрезком Dx (рис. 1.10а). Изображенную на рис. 1.10а волну нельзя считать монохроматической, имеющей одно определенное значение длины волны (импульса). Такая волна представляется бесконечно большим набором волн с различными значениями импульса (рис. 1.10б), амплитуды которых определяются интегралом Фурье

31

скольку величины х и Р связаны между собой преобразованиями Фурье, можно количе-

ственно сформулировать соотношение неопределенностей. Не вдаваясь в подробности расчетов, укажем, что для случая, изображенного на рис. 1.10, имеет место

Формулировка (1.45) как неравенства обусловлена тем, что вероятность получения в результате измерения импульса, выходящего за пределы интервала DÐõ, отлична от нуля. Соотношения, подобные (1.45), составляют основу квантово-механичес- кого принципа неопределенностей.

Дифракция электронов. Таким образом, электроны, подобно рентгеновским лучам, испытывают дифракцию на кристаллах. Дифракция проявляется в том, что электроны отражаются от кристалла не в любых, а в строго определенных направлениях, которые можно найти с помощью формулы Вульфа-Брэгга

Рис. 1.11 поясняет эту формулу. Угол И есть угол скольжения, т.е. угол между направлением падающего пучка электронов и кристаллографической плоскостью, d — межплоскостное

32

расстояние, т.е. расстояние между соседними параллельными кристаллографическими плоскостями. Целое число п носит название порядка дифракции. Из рис. 1.11 видно, что отраженный пучок отклоняется от направления падающего пучка на угол 2И.

Ðèñ.1.11.

Существенно, что в кристалле имеется не одно, а набор разных межплоскостных расстояний, величина которых зависит от положения соответствующих кристаллoграфических плоскостей (рис. 1.11). Каждое из этих межплоскостных расстояний может проявить себя в явлении дифракции.

Будучи электрически заряженными, электроны взаимодействуют c веществом примерно в миллион раз сильнее, чем рентгеновские лучи. Поэтому образцами для наблюдения дифракции электронов обычно служат тонкие пленки толщиной 10-6–10-5 см, тогда как для наблюдения дифракции рентгеновских лучей используют образцы толщиной порядка миллиметра.

Широкое распространение получил метод наблюдения дифракции электронов, предложенный в 1927 г. Дж.П.Томсоном. Этот метод лежит в основе устройства современных приборов: электронного микроскопа и электронографа.

Метод Томсона очень прост. Электронная пушка 1 формирует тонкий пучок электронов, ускоренных напряжением в несколько десятков киловольт (рис. 1.12), приложенным между электростатическим фокусирующим электродом 2 и анодом 3. Электронный пучок формируется с помощью диафрагм 4 и соответствующего магнитного поля, создаваемого в магнитной линзе 5. Сформированный пучок электронов пропускается че- рез тонкую пленку исследуемого вещества 6. Взаимодействуя с веществом, электроны рассеиваются и создают дифракционную

33

34

В некоторых случаях электронограммы состоят из отдельных пятен, симметрично расположенных по концентрическим окружностям. Подобные пятнистые электронограммы получа- ются для пленок с упорядоченным расположением микрокристалликов. Обычно такие пленки возникают при кристаллизации из пара на подогретой металлической подложке. Электронограммы от аморфных (некристаллических) пленок имеют вид сильно размытых сплошных концентрических колец.

Дифракция электронов со статистической точки зрения.

Волновые свойства частиц вещества могут быть выявлены не с одной, а с многими частицами, т.е. статистически. Рассмотрим со статистической точки зрения дифракцию электронов. Пусть регистрация электронов, испытавших рассеяние на кристалле, производится с помощью фотопластинки. Отдельный электрон оставляет на фотопластинке пятнышко. Если электронов мало, то фотопластинка будет напоминать мишень, простреленную небольшим количеством пуль, а расположение пятнышек на ней не обнаружит никакой закономерности. Закономерность выявится лишь в том случае, если на фотопластинку попадет достаточное количество электронов. При этом оказывается, что пятнышки концентрируются преимущественно в тех ее местах, где должны получаться дифракционные максимумы y-волн, т.е. волн де Бройля. Совокупность пятнышек и образует дифракционную картину, наблюдаемую на опыте. Существенно, что эта картина окажется одинаковой независимо от того, образуется ли она постепенно электронами, последовательно проходящими по одному через кристалл или сразу интенсивным пучком электронов, в котором содержится то же число частиц.

Как уже отмечалось, независимость вида дифракционной картины от плотности потока электронов свидетельствует о том, что каждый отдельный электрон в результате взаимодействия с кристаллом интерферирует сам с собой. Механизм этой необычной интерференции следующий. Взаимодействие сразу со всеми частицами, входящими в кристалл, электрон осуществляет через посредство своей y-волны. Рассеянные кристаллом вторичные y-волны в некоторых направлениях усиливают, в некоторых — гасят друг друга. При этом вероятность попадания электрона в то или иное место фотопластинки пропорциональна квадрату суммы всех вторичных y-волн в данном месте.

35

Упражнение 1

Целью данного упражнения является знакомство с компьютерным моделированием дифракции электронов. Компьютерное моделирование дает возможность наблюдать проявление вероятностных свойств частиц, что в условиях учебной лаборатории практически неосуществимо при непосредственной работе с источником электронов.

В данной работе моделируется дифракция электронов в рамках двух различных экспериментов:

1)описанный выше электронографический метод Томсона (рис. 1.12), причем электроны пропускаются по одному через тонкопленочный образец;

2)дифракция частиц на узкой щели.

Компьютерная программа, предназначенная для моделирования интерференционно-вероятностных свойств частиц по методу Томсона, работает следующим образом. Генератор случайных чисел последовательно выдает полярные координаты заданного количества точек, каждая из которых соответствует электрону, посылаемому на тонкопленочный образец. После каждого срабатывания генератора случайных чисел осуществляется коррекция радиальной координаты, в результате чего точка, моделирующая электрон, отображаясь на экране графи- ческого дисплея, оказывается либо в центральном кружке, либо в одном из колец электронограммы. Точки в центральном кружке отвечают электронам, которые при прохождении через образец не испытали дифракции, а просто рассеялись на малый угол.

В результате при достаточно большом количестве выпущенных «электронов-точек» на экране монитора все более отчетливо проступают дифракционные кольца, в точности соответствующие структуре реальной электронограммы (в данном случае электронограммы железа). В программе учтено также влияние ускоряющего напряжения на линейный масштаб электронограммы в соответствии с фундаментальным соотношением де Бройля (1.1) и формулой (1.46).

Схема моделируемого опыта по дифракции электронов на узкой щели представлена на рис. 1.14а. Электроны из эмиттера А, ускоренные разностью потенциалов Dj, движутся в направлении оси Y и проходят сквозь щель шириной Dх в экране В; далее частицы принимают счетчиками, установленными под

36

различными углами. В момент прохождения электроном щели плотность вероятности |j(x)| 2 имеет вид, изображенный на рис. 1.14б. Волновая функция j(Px) в соответствии с преобразованиями (1.44) определяется выражением

график плотности вероятности |y(Px)|2 приведен на рис. 1.14в. После прохождения щели k-й электрон, вероятно, может двигаться в направлении, определяемом углом

где импульс P связан с дебройлеровской длиной волны электрона соотношением (1.1), а Pxk — случайная величина, плотность вероятности которой определяется с помощью выражения (1.48). После прохождения достаточно большого числа электронов показания счетчиков создадут дифракционную картину, подобную показанной на рис. 1.14, в.

Первый минимум такого распределения совпадает с первым минимумом для фраунгоферовой дифракции на щели, который определяется из соотношения

Здесь длина волны l задается выражением (1.1).

Порядок работы с программами освещается в инструкции, предлагаемой непосредственно на рабочем месте.

37

Задания к упражнению 1

1.Отработать методику работы с компьютером, опробовав различные режимы работы с программой по моделированию дифракции электронов на щели.

2.Провести эксперимент по дифракции электронов на щели

ñдвумя значениями ширины щели и двумя значениями энергии.

3.После каждого эксперимента в режиме «КУРСОР» исследовать распределение электронов по углам дифракции.

4.Рассчитать значения l по формуле де Бройля (1.1), а также из условия минимумов дифракции на щели (1.50) и полу- ченные результаты представить в виде таблицы.

5.Выполнить упражнение по компьютерному моделированию дифракции электронов по методу Томсона.

6.Рассчитать погрешности. Результаты представить в виде графиков и таблиц.

Упражнение 2

Целью данного упражнения является знакомство с электронографией. Дифракция электронов составляет физическую основу электронографии — метода изучения структуры вещества, основанного на рассеянии ускоренных электронов исследуемым образцом. Электронография широко применяется для изучения атомной структуры кристаллов, аморфных тел и жидкостей, а также молекул в газах и парах. Электронографические исследования проводятся на специальных приборах — электронографах и электронных микроскопах. В них в условиях высокого вакуума электроны ускоряются электрическим полем, фокусируются в узкий интенсивный пучок, а образующиеся после прохождения через образец дифрагированные пучки либо фотографируются (давая электронограммы), либо регистрируются фотоэлектрическим устройством. Т.е. по существу в электронографах реализуется схема дифракции, приведенная на рис. 1.12.

Интенсивность и пространственное распределение дифрагированных пучков находятся в строгом соответствии с атомной структурой образца, размерами и ориентацией отдельных кристалликов и другими структурными параметрами. Вся эта информация может быть извлечена из получаемых электронограмм. Благодаря несравненно более сильному взаимодействию

38

электронов с веществом, а также возможности создания интенсивного пучка в электронографе экспозиция для получения электронограммы обычно составляет около секунды, что позволяет исследовать структурные превращения, например, кристаллизацию. Электронография позволила изучать атомные структуры огромного числа веществ, существующих лишь в мелкокристаллическом состоянии. Она обладает также преимуществом перед рентгеновским структурным анализом в определении положения легких атомов в присутствии тяжелых.

В данной работе решается одна из простейших задач электронографии — определение межплоскостных расстояний, а также индексов Миллера в кристалле по измерениям диаметров дифракционных колец на электронограммах нескольких тонкопленочных образцов. Для каждого образца измерения выполняются по 4 электронограммам, полученным на электронографе при разных значениях ускоряющего напряжения.

Как уже отмечалось, межплоскостные расстояния d зависят от положения плоскости в кристалле, что можно видеть на рис. 1.11. Положение плоскости в кристалле, в свою оче- редь, определяется тремя целыми числами (h, k, 1), которые носят название индексов Миллера. Эти числа обратно пропорциональны длинам отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. В случае кубической решетки имеет место простое соотношение, связывающее межплоскостные расстояния с индексами Миллера

где а — длина ребра элементарной кубической ячейки. Обычно длина волны выражается в ангстремах (1 Å = 10-10 ì),

а напряжение — в киловольтах. С использованием этих единиц формулу (1.40) можно переписать в виде

Фундаментальные константы е, m и с выражены здесь в международной системе единиц СИ.

39

Задания к упражнению 2

1.Сравнить между собой все электронограммы, снятые на электронографе при разных ускоряющих напряжениях. Объяснить причину различий в их виде.

2.Вычислить постоянные C1 è Ñ2. Найти с их помощью зна- чения параметра 1/ V(1+ C2V) и длины волны де Бройля lÁð для всех значений ускоряющего напряжения V.

3.Выполнить измерения на электронограммах и произвести указанную в упражнении 2 обработку результатов. Построить на одних координатных осях графики зависимости диаметров первых колец D1 на электронограммах Аl, Fe и Si от параметра

+C2V) , проанализировать их ход и сделать заключение

относительно справедливости формулы де Бройля.

4.В соответствии с указаниями определить межплоскостные расстояния и индексы Миллера для 5 колец на электронограммах алюминия и железа.

5.Рассчитать погрешности. Результаты представить в виде графиков и таблиц.

Контрольные вопросы

1.Корпускулярно-волновой дуализм света и вещества.

2.От чего зависит длина волны де Бройля?

3.В каких условиях проявляются волновые свойства электронов?

4.Как можно совместить существование неделимого электрона и явление дифракции?

5.В каких еще опытах проявляются волновые свойства частиц?

6.Что колеблется в волне де Бройля?

7.Связь волновой функции с плотностью вероятности.

8.Условие Вульфа-Брэгга.

9.Почему для наблюдения дифракции электронов используют тонкопленочные образцы? Ответ обосновать

10.Сущность метода Томсона наблюдения дифракции элек-

тронов.

40