Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Книга по математике для поступающих в ВУЗы. КУРС СРЕДНЕЙ И СТАРШЕЙ ШКОЛЫ. Автор- Зайцев Артём Сергеевич

.pdf
Скачиваний:
225
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
4.43 Mб
Скачать

З а й ц е в А р т е м

Справочная книга по математике

КУРС СРЕДНЕЙ И СТАРШЕЙ ШКОЛЫ.

Алгебра и геометрия

2016 г.

Эффективная подготовка к контрольным работам и экзаменам;

Пособие содержит основные теоретические вопросы курса алгебры и геометрии; Адресовано учащимся и учителям общеобразовательных учебных заведений, абитуриентам;

+ Данная справочная книга содержит 5 вариантов тестовых заданий, которые позволят Вам легко проверить уровень полученных знаний и оценить результат.

те о р е т и ч е с к и й м а т е р и а л

ОС Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы И О П Р Е Д Е Л Е Н И Я

АЛГЕБРА

ТЕМА 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Натуральные числа (НЧ) – это те числа, которые используются при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, 5, … n, … Множество натуральных чисел обозначается символом N. N = {1, 2, 3, 4, 5, …}.

Сравнение натуральных чисел:

Из двух НЧ большим (меньшим) является то число, которое на числовом луче стоит дальше (ближе) от нуля:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Например: 1 < 3; 8 > 5.

Признаки делимости:

2, если его последняя цифра делится на 2

3, если сумма его цифр делится на 3

4, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4 Число делится на: 5, если его последняя цифра делится на 5

9, если сумма его цифр делится на 9

10, если его последняя цифра – 0

25, если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 25

Наибольший общий делитель (НОД):

Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое делится и число a, и число b.

Например: НОД (5;15) = 5, НОД (15; 9) = 3.

Наименьшее общее кратное (НОК):

Наименьшим общим кратным чисел a и b называется наименьшее число, которое делится и на число a, и на число b.

Например: НОК (5; 15) = 15, НОК (15; 9) = 45.

НОК (a; b) ∙ НОД (a; b) = a∙b.

Простые и составные числа

Простые числа – натуральные числа, которые имеют два разных делителя (1 и само число).

Например: 2; 3; 5; 7; 11; 13; … - простые числа.

Составные числа – натуральные числа, которые имеют более двух делителей. Например: 4; 6; 9; 10; … - составные числа.

ТЕМА 2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ, СМЕШАННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Обыкновенной дробью называется выражение , где a N, b N. Число a называется числите-

лем, а число b знаменателем. Дробная черта означает деление. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей делится число (величина), числитель – сколько таких частей взято.

Дробь называется правильной, если его числитель меньше знаменателя. Например: ; .

Дробь называется неправильной, если его числитель равен знаменателю или больше его. Например: ; .

Смешанным числом называется сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака «+».

Например: 1 ; 17 .

Выделение целой части из неправильной дроби и наоборот

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, необходимо разделить с остатком числитель на знаменатель: неполное частное будет целой частью, остаток – числителем, а знаменатель – тот же.

Например: = 1 ; = 4 .

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо умножить его це-

лую часть на знаменатель дроби и прибавить числитель, полученное число – это числитель неправильной дроби, а знаменатель остается прежним.

Например: 2

 

=

 

=

 

.

 

 

 

Основное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то, получим дробь, которая равна данной.

Например: = = .

Сокращение дроби – это деление числителя и знаменателя на общий делитель числителя и знаменателя дроби, который больше единицы.

Например: = ; = .

 

 

 

 

 

 

 

Сложение обычных дробей и смешанных чисел

1)

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Сложение дробей с разными знаменателями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, если НОД (b; d) = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Сложение смешанных чисел:

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычитание обычных дробей и смешанных чисел

1)

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Отнимание дробей с разными знаменателями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, если НОД (b; d) = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Отнимание смешанных чисел:

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножение обычных дробей

1)

Умножение дробей:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Умножение смешанных чисел:

 

 

 

 

 

.

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Деление дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

Чтобы разделить дробь на дробь необходимо заменить делание умножением, а вторую

 

дробь заменить обратной (т.е. перевернуть её):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Деление смешанных чисел:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕМА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Целые числа – натуральные числа, им противоположные числа и число 0. Множество целых чисел обозначается символом Z. Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число a можно представить в виде дроби:

 

.

 

Например:

Сравнение положительных и отрицательных чисел

Любое отрицательное число меньше нуля и любого положительного числа. Нуль меньше любого положительного числа.

Например: -4 < 0; -3 < 2; 0 < 2.

Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками

1)Сложение отрицательных чисел. Чтобы сложить два отрицательных числа необходимо их прибавить и поставить их общий знак: –a + (–b) = –a –b= –(a+b), где a и b – положительные числа.

Например: –7 +(– 3) = –7–3= –(7+3) = –10; –11–8 = –19.

2)Сложение чисел с разными знаками. Чтобы прибавить два числа с разными знаками необходимо от большего числа по модулю отнять меньшее число по модулю, и поставить знак большего числа по модулю.

Например: –10 + 6 = –(ǀ10ǀ–ǀ6ǀ) = –4; –15 + 24 = +(ǀ24ǀ–ǀ15ǀ) = 9.

Вычитание положительных и отрицательных чисел

Отнять от числа a число b означает прибавить к числу a число, противоположное b: a – b = a + (–b).

Например: 7 – 9 = 7 + (–9) = –2.

Умножение положительных и отрицательных чисел

–a ∙ b = a ∙ (–b) = – (ab), где a, b – положительные числа.

Например: –5 ∙ 4 = –20.

 

–a(–b) = ab, где a, b – положительные числа.

Минус на минус даёт плюс. (–) = +; – ∙ – = +

Например: –7 ∙ (–5) = 35.

 

Деление положительных и отрицательных чисел

a : (–b) = –a : b = –(a : b), где a, b – положительные числа.

Например: 12 : (4) = –3.

–a : (–b) = a : b, где a, b – положительные числа. Минус на минус даёт плюс. – := +

Например: –25 : (–5) = 5.

Рациональные числа – это числа, которые можно подавать в виде

 

 

, где

. Множе-

 

 

ство рациональных чисел обозначают символом Q. Например:

 

 

 

 

 

. Любое рациональное

 

 

 

 

число – неоконченная периодическая десятичная дробь!

 

 

 

 

 

Свойства деления:

 

 

 

 

 

 

 

 

a : 1 = a;

a : a = 1, a ≠ 0;

0 : a = 0, a ≠ 0.

 

 

 

 

 

На нуль делить нельзя!

Пропорции

Пропорции: или a : b = c : d, где a, d – крайние члены, b,c – средние члены.

Пропорция

 

 

 

равносильна равенствам: ad = bc;

 

 

 

;

 

 

 

;

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕМА 4. ПРОЦЕНТЫ.

Сотую часть любой величины, или числа называют процентом.

Процент обозначают знаком %. То есть

 

.

 

Чтобы превратить десятичную дробь в проценты, нужно её умножить на 100.

Например: 0,15 = 15 %; 1,4 = 140 %.

Чтобы превратить проценты в десятичную дробь, нужно число процентов разделить на 100.

Например: 30 % = 0,3; 247 % = 2,47.

ТЕМА 5. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ И ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

Степень числа a с натуральным показателем n, большего единицы, называют произведением n множителей, каждый из которых равен a: an = a ∙ a ∙ a ∙ … ∙ a , .

n раз

Первой степенью числа называют само число: a1 = a.

В записи an = b число a называется основанием степени, n – показателем степени, an – степенью, b – значением степени.

Свойства степеней:

1)

am ∙ an = am+n.

 

 

6)

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2)

am : an = am-n, или

 

.

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

7)

a

= 1, a ≠ 0, 0

– не определён.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

(am)n = amn.

 

 

8)

 

 

 

 

. Выражение

, где

 

 

 

 

 

 

4)

(ab)n = anbn.

 

 

 

не определено.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

.

 

 

Стандартный вид числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стандартный вид числа: a ∙ 10n, где 1 ≤ a <10 и

Число n называют порядком числа.

 

ТЕМА 6. ОДНОЧЛЕНЫ.

Одночленом называется выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения. Число 0 назыв. нулевым одночл. и не имеет степени. Например: 5a, 6a2b, 3, x.

Одночлен в стандартном виде – одночлен, который содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с разными буквенными основаниями (напр.: 3ab, 12x2y, -a).

Умножаются многочлены по принципу 1-1; 1-2; 2-1; 2-2 (2a+3b)(2c+3d) = 2a2c+2a3d+3b2c+3b3d = 4ac+6ad+6bc+9bd.

ТЕМА 7. МНОГОЧЛЕНЫ.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Например:4xy+2x2+7.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют его членами. Многочлен, который содержит два или три слагаемых, называют соответственно двучленом и трехчленом.

Подобные члены многочлена – это одинаковые одночлены, или одночлены, запись которых в стандартном виде отличается лишь коэффициентами.

Приведение подобных членов – это упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных членов заменяется одним членом.

Стандартный вид многочлена – это запись многочлена, все члены которого имеют стандартный вид, и среди них нет подобных. Например: a2 – ab + b2;ab + bc + ac.

! При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «–», то скобки можно опустить, заменив знак каждого одночлена, находящегося в скобках, на противоположный. Например: (3x2 – 2x + 5) – (–2x2+5x – 19) = 3x2 – 2x + 5 + 2x2–5x + 19.

Формулы сокращённого умножения

1)

;

квадрат суммы (разности)

2)

;

разность квадратов

3)

;

сумма (разность) кубов

4)

.

куб суммы (разности)

ТЕМА 8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ.

Алгебраической называется дробь, если числитель и знаменатель этой дроби являются алгебраическими выражениями.

Например: ; .

! При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение, получаем дробь, которая равносильна данной (такое действие можно выполнить при необходимости дополнить выражение, чтобы получить формулу). Используя данное свойство дроби, можно сокращать алгебраические дроби на общий множитель числителя и знаменателя!

Например:

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

ТЕМА 9. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ И ЕГО СВОЙСТВА.

Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a. (т.е. x2 = a).

Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a. Арифметический квадратный корень из числа a обозначается знаком , где a

называется подкоренным выражением, – знак радикала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действие, при помощи которого находится арифметический квадратный корень, называется

извлечением квадратного корня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства арифметических квадратных корней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

При b ≥ 0:

 

При b < 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

При b ≥ 0:

 

 

.

При b < 0:

 

ТЕМА 10. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ.

Уравнение – это равенство, содержащее переменную (или неизвестную).

Решение уравнения (корень) – значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет. Равносильные уравнения – уравнения, которые имеют одни и те же корни или их не имеют.

Линейное уравнение

Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением. Корень уравнения:

Основные свойства уравнений:

1.В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.

2.Если из одной части уравнения перенести слагаемые в другую часть и изменить при этом знаки слагаемых на противоположные, получим уравнение, равносильное данному.

3.При делении/умножении обеих частей уравнения на одно и тоже число, не равное нулю, получим уравнение, равносильное данному.

Уравнение, которое содержит две переменные (неизвестные), называется уравнением с двумя переменными. Например: x y = 5; 2x ∙ 3y = 12.

Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, которые превращают это уравнение в правильное числовое равенство.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by = c, где x и y – переменные, a, b, c – некоторые числа, называется ли-

нейным уравнением с двумя переменными.

Если a меньше b или a больше b, то записывают так: a < b или a > b. Такое выражение назы-

вается неравенством.

Знаки неравенств:

> – больше; < – меньше; – больше или равно; – меньше или равно. Знаки > и < являются знаками строгого неравенства; знаки и – знаки нестрогого неравенства.

! Если обе части правильного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрица-

тельное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим правильное неравен-

ство.

Например: 15x > 45, разделив это неравенство на -5, получим: -3x < -9

=> x = (3; +

).

15x 45, разделив это неравенство на -5, получим: -3x -9

=> x = [3; +

).

Как выбрать скобки для правильной записи ответа?

Если неравенство строгое (>, <), то ответ записываем в круглых скобках «(» и «)». Если неравенство нестрогое (≥, ≤), то ответ записываем в квадратных скобках «[» и «]».

Не зависимо от того, какое неравенство (строгое/нестрогое) и после знака, и перед знаком бесконечности всегда ставится круглая скобка!

Знак бесконечности: . Бесконечность может быть как положительная, так и отрицательная: .

Линейным называется неравенство вида ax > b (или, соответственно, ax < b; ax ≥ b; ax ≤ b), где a и b – числа, x – переменная.

Решениями неравенства с одной переменой называется множество таких значений переменной, которые преобразуют её в верное числовое неравенство.

Системы уравнений с двумя переменными

Системой уравнений называются два или несколько уравнений, у которых необходимо найти все общие решения. Уравнения системы записываются столбиком и объединяются фигурной скобкой. Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Систему двух линейных уравнений с двумя переменными обычно записывают в виде:

{

Решить систему уравнений – означает найти все её решения или доказать, что решений нет. Если система имеет конечное число решений, то она называется определенной.

Если система имеет бесконечное число решений, то она называется неопределенной.

Две системы называются равносильными, если они имеют одинаковые множества решений.

Способы решения систем

1. Способ подстановки.

выразить из первого уравнения переменную x (обычно) или y и подставить во второе уравнение,

авторое уравнение системы оставить без изменений. Получим систему, равносильную данной. Напр.:

{

Решение:

{

Решим второе уравнение системы:

Раскроем скобки и получим: 45 – 9y – 4y = 6;

–13y = 6 – 45; –13y = –39; y = 3.

Подставим полученное значение переменной y в первое уравнение системы:

{

{

Ответ: (6; 3).

На первом месте указывается ответ x, а на втором – y !

2. Графический способ.

– для решения системы графическим способом строят графики всех уравнений, входящих в систему. Координаты точек пересечения графиков являются решениями этой системы.

3. Способ сложения.

– способом сложения удобно решать системы, у которых коэффициенты при одной из переменных – противоположные числа. Например:

{

дальнейшее решение стандартное

Системы линейных неравенств с одной переменной

Два или более неравенства с одной переменной, относительно которых поставлена задача найти все общие решения, называют системой неравенств с одной переменной.

Решениями системы неравенств называются такие значения переменной, которые являются решениями сразу всех неравенств, входящих в данную систему.

Решить систему неравенств – означает найти все её решения или доказать, что решений нет.

ТЕМА 11. ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА.

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x отвечает единственное значение y.

Функция обозначается или одной буквой f или f(x), или равенством y = f(x), где x – независимая переменная или аргумент, y – зависимая переменная или значение функции, f(xo) – значение функции f в точке xo.

Область определения функции (D) – множество тех значений, которые может приобретать аргумент.

Область (множество) значений функции (E) – это множество тех значений, которые может приобретать сама функция при всех значениях аргумента из области определения.

Например: . Область определения: x – 1 ≠ 0; x ≠ 1, x – любое число,

кроме x = 1.

Графиком функции y = f(x) называется множество точек плоскости с координатами (x; y), где первая координата x «пробегает» всю область определения функции f(x), а вторая координата – это соответствующее значение функции f в точке x.

Способы задания функции

1.Аналитический способ: функция задаётся с помощью математической формулы.

2.Табличный способ: функция задаётся с помощью таблицы.

3.Описательный способ: функция задаётся словесным описанием.

4.Графический способ: функция задаётся с помощью графика.

 

Возрастание и убывание функции

Функция y = f(x) является возрастающей, если большему значению аргумента соответствует

большее значение функции.

 

Функция y = f(x) является убывающей, если большему значению аргумента соответствует

меньшее значение функции.

на рис. функция периодическая, парная↓

Периодичность функции

Функцию y = f(x) называют периодической с периодом T ≠ 0, если для любого x из области определения числа x + T и x – T также принадлежит области определения и выполня-

ется неравенство: f(x + T) = f(x – T) = f(x).

Если функция y = f (x) – периодическая с наименьшим положительным периодом T.

Парные и непарные функции

Функция y = f(x) является парной, если для любого значения x из D (y) значения –x также при-

надлежит D (y) и выполняется равенство f (–x) = f (x). График парной функции симметричен относительно оси OY.

Графики некоторых функций и их основные свойства:

Функция y = kx

 

 

 

 

Свойства

II

2

1

I

1.Область определения: R.

2.Функция непарная.

3.

Для

функция возрастает, если k > 0

 

 

 

(№ 1); убывает, если k < 0 (№ 2).

 

 

4.

Область значений: R.

 

 

5.

График – прямая, которая проходит через

III

IV

 

начало координат.

 

 

Функция y = b

Свойства

1.Область определения: R.

2.Функция парная. Если b = 0, то функция и парная, и непарная.

3. Для

функция постоянна.

4.Область значений: {b}.

5.График – прямая, параллельная оси x, если b ≠ 0, и прямая, которая совпадает с осью x, если b = 0.

6.Функция периодическая, любое число является периодом. Наименьшего положительного периода нет.

Функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства

 

 

1. Область определения:

2

1

 

 

 

 

.

 

2.Функция непарная.

3.Если k > 0 (№ 1), функция убывает на

 

промежутке

и на промежутке

 

 

 

. Если k < 0 (№ 2) функция воз-

 

 

 

растает на промежутке

и на про-

 

 

 

межутке

.

 

 

 

4.

Область значений:

.

1

2

5.

График функции – гипербола.

 

 

 

Функция y = ax2 (y = ax2n, a ≠ 0, n

N)

 

 

Свойства

 

 

 

 

1.Область определения: R.

2.Функция парная.

3.

Если a > 0 (№ 1), функция убывает на промежутке

1

 

, возрастает на промежутке [

 

. Если

 

 

a < 0 (№ 2), функция возрастает на промежутке

 

 

, убывает на промежутке [

 

.

 

4.

Область значений: если a > 0, то

[

; если

2

 

a < 0, то

.

 

 

 

5.

График функции – парабола.

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.