Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Книга по математике для поступающих в ВУЗы. КУРС СРЕДНЕЙ И СТАРШЕЙ ШКОЛЫ. Автор- Зайцев Артём Сергеевич

.pdf
Скачиваний:
234
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
4.43 Mб
Скачать

ТЕМА 17. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ.

̅

В

Вектор – это направленный отрезок.

 

 

Векторы обозначаются двумя большими латинскими буквами (или одной маленькой) со

стрелкой над ними. На рисунке выше изображён вектор (А – начало вектора, B – конец вектора).

 

B

 

Векторы ̅̅̅̅ и ̅̅̅̅ называются одинаково направленными,

 

 

 

если одинаково направлены и полупрямые AB и CD.

А

D

 

Векторы ̅̅̅̅̅ и ̅̅̅̅ называются противоположно направ-

 

 

 

ленными, если противоположно направлены и полупрямые MN

С

 

N

и KP.

 

 

 

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется

M

 

K

длина отрезка, задающего вектор. Абсолютная величина нуль-век-

 

 

 

тора равна нулю.

 

P

 

Два вектора называются равными, если они смещаются

параллельным переносом. Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И наоборот, если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

 

Абсолютная величина вектора с координатами a1, a2

равна арифметическому квадратному

корню из суммы квадратов его координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|̅| √

 

 

 

 

Расстояние между двумя точками вычисляется по формулам:

 

 

|

|

 

 

 

 

 

1.

A(x1; y1) и B(x2; y2):

;

 

 

 

|

|

 

 

 

 

2.

A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z1):

.

ТЕМА 18. ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами стереометрии являются точка, прямая и плоскость.

Аксиома – утверждение, не требующее доказательство (в отличии от теоремы). Аксиомы стереометрии – это основные свойства основных фигур стереометрии.

Точка и прямая – это основные фигуры планиметрии, поэтому в стереометрии справедливы аксиомы планиметрии.

А К С И О М Ы С Т Е Р Е О М Е Т Р И И:

!Следствия из аксиом стереометрии:

1. Через прямую и точку, не лежащую на ней, можно повести плоскость, причем только одну.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. 3. Плоскость и прямая, не лежащая на ней, либо не

пересекаются, либо пересекаются в одной точке. 4. Через три точки, не лежащие на одной прямой,

можно провести плоскость, причем только одну.

ТЕМА 19. МНОГОГРАННИКИ.

Геометрическое тело – часть пространства, которое занимает предмет.

Примеры геометрических тел:

Куб – это тело, поверхность которого ограничена шестью равными квадратами (рис.1). Прямоугольный параллелепипед – это тело, поверхность которого ограничена шестью прямоугольниками (рис.2).

Тетраэдр – это тело, поверхность которого ограничена четырьмя треугольниками (рис.3). Правильным тетраэдром называется тело, поверхность которого ограничена четырьмя равными правильными треугольниками.

Многогранник, или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда также называют тело, ограниченное этой поверхностью. Многоугольники, которые ограничивают поверхность тела, называются гранями, стороны граней – ребрами,

вершины граней – вершинами многогранника (рис.4).

Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а другие n граней – параллелограммы (рис.5).

рис.1

рис.2

рис.3

рис.4

рис.5

Многоугольники называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями. Стороны боковых граней и оснований называются ребрами призмы. Концы ребер – вершинами призмы. Боковыми рёбрами называются рёбра, которые не принадлежат основаниям.

Свойства призмы:

1.Основания призмы параллельны и равны.

2.Боковые рёбра параллельны и равны.

3.Боковые грани – параллелограммы.

Высотой призмы называется перпендикуляр, проведенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего основания.

Диагональю призмы называется отрезок, который соединяет две вершины, которые не лежат на одной грани.

Прямой призмой называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны площади оснований. Призма, которая не является прямой, называется наклонной.

Параллелепипедом называется призма, основания которой – параллелограммы.

Свойства параллелепипеда:

1.Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.

2.Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Параллелепипед называется прямым, если у него боковые ребра перпендикулярны основани-

ям. Прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называются прямоугольным. Все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1.Все диагонали равны.

2.Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

ТЕМА 20. ПИРАМИДА. ЕЁ ВИДЫ И СВОЙСТВА.

Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань является произвольным n- угольником, а другие n грани – треугольники, которые имеют общую вершину. N-угольник называется

основанием, а треугольники – боковыми гранями.

Общая вершина боковых граней называется верши-

ной пирамиды.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды совпадает с центром этого многоугольника.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды, называется

апофемой.

Управильной пирамиды:

боковые рёбра равны;

боковые грани равны;

апофемы равны;

двугранные углы при основании равны;

двугранные углы при боковых рёбрах равны;

каждая точка высоты правильной пирамиды равноудалена от всех вершин основания, всех боковых граней и от всех боковых рёбер.

Диагональным сечением пирамиды называется сечение плоскостью, которая проходит через два боковых ребра пирамиды, которые не принадлежат одной грани.

ТЕ О Р Е М А. Если пирамида пересекается плоскостью, параллельно основанию, то:

1)боковые рёбра и высота пирамиды делится этой плоскостью на пропорциональные части;

2)сечение – многоугольник, подобный основанию;

3)площади сечения и основания относятся как два квадрата их расстояний от вершины пирамиды.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания.

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды, проведенная к ребру основания, называется

апофемой.

Вправильной усечённой пирамиде:

боковые ребра и боковые грани равны;

апофемы равны;

двугранные углы при каждом основании равны;

двугранные углы при боковых рёбрах равны;

каждая точка прямой, которая проходит через центры её оснований, равноудалённая от всех вершин каждого основания, равноудалена от плоскостей боковых граней и равноудалена от прямых, на которых лежат боковые рёбра.

ТЕМА 21. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ.

Площадь боковой поверхности призмы – сум-

ма площадей её боковых граней.

Площадь полной поверхности призмы

сумма площадей всех её граней.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т.е. на длину бокового ребра:

Площадь полной поверхности призмы

равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

Объём призмы равен произведению площади оснований на высоту:

Объём прямоугольного параллелепи-

педа равен произведению его измерений:

.

Объём куба равен произведения кубу

его ребра:

.

Площадью полной поверхности пирамиды является сумма плоскостей всех её граней (т.е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Если боковые грани пирамиды наклонены к основанию по углом , а площадь основания равна , то площадь боковой поверхности пирамиды:

Объём пирамиды равен третьей части произведения площади основания на высоту:

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей всех её граней (т.е. оснований и боковых граней), а площадь боковой поверхности усечённой пирамиды – сумме площа-

дей её боковых граней:

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полу-

сумме периметров оснований на апофему:

Объём усеченной пирамиды, высота которой Н, а площади оснований равны S1 и S2, вычисляется по формуле:

ТЕМА 22. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ: ЦИЛИНДР И КОНУС. ПЛАЩАДИ И ОБЪЁМЫ.

Цилиндром называется тело, созданное вращением прямоугольника вокруг его стороны. Основания цилиндра – равные круги, которые лежат в параллельных

плоскостях. Радиусы кругов называют радиусами цилиндра. Сторона CD описывает поверхность, которая называется боковой поверхностью цилиндра.

Высота цилиндра – отрезок, перпендикулярный основанию, концы которого принадлежат основаниям.

! Высота цилиндра равна его образующей. Сечение цилиндра плоскостью, перпен-

дикулярно его осе – это круг, который равен основанию, а сечение плоскостью, параллельно оси, - прямоугольник (или отрезок).

Осевое сечение – прямоугольник со сторонами, который равен высоте цилиндра и диаметру его основания.

Конусом называется тело, созданное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Если прямоугольный треугольник POM вращается вокруг катета PO, то его гипотенуза PM описывает боковую поверхность, а катет OM – круг – основание конуса. Радиус этого круга называется радиусом конуса; точка P, отрезок PM, отрезок PO, прямая

PO называется соответственно вершиной, образующей, высотой и осью конуса.

Осевое сечение конуса – сечение конуса плоскостью, которая проходит через его ось. ! Все осевые сечения конуса являются равнобедренными треугольниками, равными между собой

(рисунок слева).

Усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным площади основания. Такой конус можно получить в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг её оси симметрии или вращая прямоугольную трапецию вокруг оси, которая совпадает с боковой стороной трапеции, перпендикулярно основани-

ям.

Осевое сечение усеченного конуса – равнобокая трапеция.

Расстояние между основаниями усеченного конуса – высота этого конуса.

Площади и объёмы цилиндра и конуса

ТЕМА 23. ШАР И СФЕРА. ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМЫ.

Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, которые находятся на данном расстоянии (которое называется радиусом) от данной точки (которая называется центром) (рис.1).

Отрезок, который соединяет две точки сферы и проходит через её центр, называется диаметром сферы. На рис.1 О – центр сферы, ОВ, ОС, ОК – радиусы сферы, ВС – диаметр сферы. Сферу можно получить в результате вращения круга вокруг его диаметра.

Шаром называется тело, созданное из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не больше данного (которое называется радиусом) от данной точки (которая называется центром). Шар можно получить в результате вращения круга вокруг его диаметра.

рис.1 Сечение шара плоскостью является окружность. Центр круга (окружности) – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара (сферы) на усеченную плоскость. Сечение, которое проходит через центр шара (сферы), называется

большим кругом (окружностью).

Плоскость (прямая), которая имеет с шаром (сферой) только одну общую точку, называется касательной плоскостью (прямой). Касательная плоскость (прямая) перпендикулярна радиусу шара (сферы), проведенная в точку касания. Если плоскость (прямая) проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, который проведён в эту точку, то она касается сферы.

Шаровым сегментом называется тело, отсеченное от шара плоскостью (рис.2). Шаровой сегмент, ограниченный кругом называют основанием, и сферическим сегментом. Отрезок диаметра, перпендикулярный основанию шарового (сферичного) сегмента, который содержится между основа-

нием и сферой, называется высотой шарового (сферического) сегмента.

Площади и объёмы сферы и шара

рис.2

рис.3

 

рис.4

ТЕМА 24. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Декартова система координат в пространстве задаётся тремя попарно перпендикулярными осями (ОХ – ось абсцисс, ОY – ось ординат и OZ – ось аппликат), которые имеют общее начало О (начало координат) и одинаковый масштаб вдоль осей.

Каждой точке пространства по определённому правилу задаётся соответственная троица чисел – абсцисса, ордината, аппли-

ката (x; y; z), которые наз. декартовыми координатами точки.

Т Е С Т О В Ы Е З А Д А Н И Я

Один вариант теста состоит из 7 заданий, которые оцениваются по 5-бальной шкале следующим образом:

1 тест

0,5 балла

 

 

2 тест

0,5 балла

 

 

3 тест

0,5 балла

 

 

4 тест

0,5 балла

 

 

5 тест

0,5 балла

 

 

6 тест

1 балл

 

 

7 (задача)

+++ 1,5 балла / ++ 1 балл / + 0,5 балла

 

 

СУММА

5 БАЛЛОВ

 

 

ВАРИАНТ I

1. Пятипроцентный раствор соли содержит 10 г соли. Сколько воды в этом растворе?

 

А) 190 г.;

 

Б) 200 г.;

В) 210 г.;

Г) 180 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Представьте корень

в виде степени с дробным показателем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А)

 

;

 

Б)

 

 

;

В)

 

;

Г)

 

.

3.

Найдите область определения функции y = arcos (x + 2).

 

 

 

 

А)

 

; Б) [–3; –1];

В) (–3; –1);

Г) [1; 3].

4.

На тарелке лежит 7 яблок и 5 слив. Сколькими способами из тарелки можно

взять один фрукт?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А) 7;

 

Б) 2;

В) 5;

Г) 12.

5.

Найдите корни уравнения f′(x) = 0, где f(x) = 6x + x2.

 

 

 

 

А) –3;

 

Б) 3;

В) –6, 0;

Г) –6.

6.

Точки М (х; –2) и М′(5; у) симметричны относительно точки О (0; 4). Найдите

х и у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А) х = 5, у = 10; Б) х = -5, у =8;

В) х= -5, у = 10; Г) х = 5, у = -10.

7.

Вычислите

 

 

.