2.2. Система масового обслуговування з довільним розподілом часу обслуговування

Існує велика кількість СМО які не описуються моделями пуассонівського типу. До них відносяться багатофазні СМО, СМО з пріоритетами, СМО з довільним (не експоненціальним) розподілом імовірностей часу надходження та обслуговування заявок тощо, тобто вхідні і вихідні потоки не є пуассонівськими. Ці моделі мають багато аналогів у реальних системах обслуговування, зокрема у транспортних системах.

Аналіз моделей СМО, у яких вхідні і вихідні потоки не підкоряються пуассонівському розподілу, є складним. У таких випадках для моделювання СМО застосовуються вкладені ланцюги Маркова. Їх застосування до аналізу моделі з довільним розподілом часу обслуговування грунтується на можливості спостереження за змінами станів обслуговуючої системи в моменти вибуття із неї реалізованих заявок. Елементи матриці переходів при цьому інтерпретуються як імовірності того, що в інтервалі, початкова точка якого відповідає початку обслуговування, а кінцева точка – завершенню цієї процедури, у систему надійде деяка задана кількість заявок.

Ефективність використання такого підходу для аналізу процесів масового обслуговування обумовлена тим, що вдається описати будь-який із згаданих вище процесів за допомогою дискретного ланцюга Маркова навіть і у тому випадку, коли досліджувана система не є марковською.

Розглянемо один із випадків СМО, яка не підкоряється пуассонівському розподілу, для якого одержані аналітичні результати. Мова йде про випадок, коли час обслуговування заявок має довільний розподіл.

Математична модель. Розглянемо одноканальну СМО, яка характеризується наступними параметрами

1. вхідний потік є пуассонівським з інтенсивністю ;

2. розподіл тривалостей обслуговування є довільним з середнім значенням і дисперсією;

3. виконуються умови стаціонарності при

Друга умова цілковито змінює структуру аналізу даної СМО у порівнянні з випадком, коли вхідний і вихідний потоки є пуассонівськими. У цьому випадку виведення формул для ймовірностей станів суттєво ускладнюється і потребує застосування теорії вкладених ланцюгів Маркова. У даному розділі наведемо формули, які визначають найбільш важливі характеристики СМО.

Отже, нехай інтенсивність вхідного потоку заявок на обслуговування дорівнює . Розподіл часу обслуговуванняє довільним з середнім значеннямі дисперсією.

Позначимо через другий момент розподілу часу обслуговування. Тоді дисперсію часу обслуговування можна представити у вигляді

.

Позначимо також через коефіцієнт використання обслуговуючих пристроїв. При заданих значенняхі умовісередня кількість заявок у системі обслуговування в момент уходу обслуженої заявки виражається формулою

.

Ця формула виражає середню довжину черги в момент уходу обслуженої заявки через відомі величини, а саме через коефіцієнт використання , інтенсивність вхідного потокуі другий момент часу обслуговування. Перепишемо цю формулу, вводячи нормовану дисперсію часу обслуговування(коефіцієнт варіації). Заміняючиїх виразами, одержимо

.

Цей вираз представляє собою відому формулу для середнього числа заявок у системі з довільним розподілом часу обслуговування, яку називають формулою Поллачека-Хінчина для середнього значення.

Підкреслимо, що середнє значення залежить тільки від перших двох моментів розподілу часу обслуговування Крім того, зауважимо, щозростає лінійно із зростанням дисперсії часу обслуговування (або з квадратом його коефіцієнта варіації).

Формула Поллачека-Хінчина дозволяє знайти середню кількість заявок у системі в моменти уходу обслуженої заявки. Однак, вона також дозволяє знайти і середню кількість заявок і в моменти їх надходження і у будь-які інші моменти часу.

Знайдемо тепер зв’язок між середньою кількістю заявок у системі і середньою кількістю заявок у черзі. За визначенням середня кількість заявок у системі дорівнює математичному сподіванню

де – ймовірність того, що у системі знаходиться k заявок.

Довжина черги на одиницю менше кількості заявок у системі, якщо система не пуста, тому

або

Але друга сума дорівнює , і ми приходимо до рівності

У якості прикладу застосування формули Поллачека-Хінчина розглянемо одноканальну систему з пуассонівським вхідним і вихідним потоком заявок. Для такої системи

Із формули Поллачека-Хінчина можна одержати інші функціональні характеристики СМО.

1. Середня кількість заявок у черги (довжина черги)

.

2. Середній час, проведений заявкою у системі

.

3. Середній час перебування заявки у черзі

.

Приклад 2.11.Припустимо, що на автомобільній мийці мийка автомобіля здійснюється автоматичним пристроєм, і тривалість мийки автомобіля в середньому займає= 10 хв. Вхідний потік є пуассонівським з інтенсивністюавтомобілів на годину. Розподіл тривалостей обслуговування є довільним з середнім значеннямі дисперсією. Виконуються умови стаціонарності.

Визначимо операційні характеристики даної СМО.

Розв'язання. Оскільки середня тривалість обслуговування є постійною, маємо, адисперсія. Таким чином маємо СМО з параметрами:

Алгоритм розрахунку операційних характеристик СМО:

1. Середня кількість заявок у системі

_{2. Довжина черги}

_{3.Середній час перебування заявки у системі (год.)}

4. Середній час перебування заявки у черзі (год.)

Порівняємо ці характеристики з аналогічними характеристиками для пуассонівської СМО, тобто для СМО, у якій вхідний і вихідний потоки заявок розподілені за законом Пуассона з параметрами і(система M/M/1). Зробимо розрахунки відповідних характеристик цієї СМО.

Параметри СМО

Операційні характеристики СМО:

1. Середня кількість заявок у системі

_{2. Довжина черги}

_{3.Середній час перебування заявки у системі (год.)}

4. Середній час перебування заявки у черзі (год.)

Порівнюючи ці результати, відмітимо, що не дивлячись на те, що як інтенсивність надходження заявок, так і інтенсивність обслуговування у даній системі такі ж, як і в пуассонівській (автомобілів на годину), середній час чекання у першому випадку менший –год., оскільки час обслуговування є постійним, у пуассонівській –.

Одержані результати є цілком логічними, оскільки у випадку, коли тривалості обслуговування заявок однакові і фіксовані, режим функціонування СМО характеризується більшою визначеністю, що призводить до зменшення значень

Завдання для лабораторної роботи №7

У довідкову комп’ютерну систему надходять запити від клієнтів, термін обробки яких в середньому складає хв. Вхідний потік є пуассонівським з інтенсивністюзапитів на годину. Розподіл імовірностей термінів обслуговування є довільним з середнім значеннямі дисперсією. Виконуються умови стаціонарності.

Визначити основні операційні характеристики даної СМО і пуассонівської СМО та порівняти їх із відповідними характеристиками пуассонівської СМО.

Контрольні запитання

1. Що таке системи масового обслуговування (СМО). Дати загальну характеристику СМО. За якими характеристиками класифікуються СМО. Навести приклади моделей СМО, які описують реальні процеси обслуговування.

2. Навести функціональні характеристики ефективності СМО.

3. Дати визначення СМО з втратами. Привести діаграму інтенсивностей переходів для СМО з втратами.

4. Дати визначення абсолютної і відносної пропускної спроможності.

5. Навести основні операційні характеристики СМО в залежності від їх типів.

6. У чому полягають задачі оптимізації СМО і які економічні критерії характеризують їх ефективність. Які існують моделі СМО з вартісними характеристиками.

7. Навести приклади задач управління, пов’язані з прийняттям рішень з використанням моделей масового обслуговування.

8. Скласти систему алгебраїчних рівнянь для стаціонарних ймовірностей станів СМО з втратами, використовуючи діаграму інтенсивностей переходів.

9. Навести формули для ймовірностей станів СМО з втратами.

10. Якими характеристиками визначається ефективність СМО з втратами.

11. Дати визначення СМО з чергою. Привести діаграму інтенсивностей переходів для СМО з чергою.

12. Скласти систему алгебраїчних рівнянь для стаціонарних ймовірностей станів СМО з чергою, обмеженою кількістю місць у черзі, використовуючи діаграму інтенсивностей переходів.

13. Навести формули для ймовірностей станів n-канальної СМО з чергою, обмеженою кількістю місць у черзі.

14. Який вигляд мають формули для ймовірностей станів одноканальної СМО з чергою.

15. Якими операційними характеристиками визначається ефективність СМО з чергою.

16. Дати характеристику СМО з чергою, обмеженою часом чекання.

17. Навести формули для ймовірностей станів СМО з чергою, обмеженою часом чекання.

18. Дати означення замкнутої СМО. Привести діаграму інтенсивностей переходів у замкнутої СМО.

19. Яку структуру має замкнута СМО і якими параметрами вона описується.

20. Який вигляд має система алгебраїчних рівнянь для стаціонарних імовірностей станів замкнутої СМО.

21. Навести формули для ймовірностей станів замкнутої СМО.

22. Якими операційними характеристиками визначається ефективність замкнутої СМО.

23. Привести схему і алгоритм у Mathcad обчислення ймовірностей станів замкнутої СМО.

24. У чому полягає основна особливість непуассонівських СМО, якими розподілами ймовірностей описуються вхідні і вихідні потоки у СМО.

25. Навести формулу Поллачека-Хінчина і дати її характеристику.

РОЗДІЛ 3. ОПТИМІЗАЦІЯ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ