Рішення системи лінійних рівнянь методом підстановки

Даний метод також можна назвати «шкільним методом» або методом виключення невідомих.

Приклад 1

Вирішити систему лінійних рівнянь:

 

Тут у нас дана система з двох рівнянь з двома невідомими. Зверніть увагу, що вільні члени (числа 5 і 7) розташовані в лівій частині рівняння, при необхідності систему завжди можна записати «як зазвичай»:

.

Не забуваймо, що при переносі доданка з частини в частину у нього потрібно поміняти знак.

Що означає вирішити систему лінійних рівнянь? Вирішити систему рівнянь - це значить знайти такі значення змінних, які звертають КОЖНЕ рівняння системи в правильне рівність. Це твердження справедливе для будь-яких систем рівнянь з будь-якою кількістю невідомих.

Вирішуємо. З першого рівняння виражаємо : Отриманий вираз підставляємо в друге рівняння:

Розкриваємо дужки, наводимо подібні доданки і знаходимо значення :

 

Далі згадуємо про те, від чого танцювали:

Значення нам вже відомо, залишилося знайти:

Відповідь:

Рішення системи методом почленного складання (вирахування) рівнянь системи

У ході розв'язання систем лінійних рівнянь потрібно використовувати метод почленного складання (вирахування) рівнянь системи.

Приклад 2

Вирішити систему лінійних рівнянь:

 

Візьмемо ту ж систему, що і першому прикладі.

Аналізуючи систему рівнянь, помічаємо, що коефіцієнти при змінній однакові по модулю і протилежні за знаком (-1 і 1). У такій ситуації рівняння можна скласти почленно:

 

Дії, обведені червоним кольором, виконуються подумки.

Як бачите, в результаті почленного складання у нас пропала змінна . У цьому, власне, і полягає суть методу - позбутися однієї із змінних.

Тепер все просто: - підставляємо в перше рівняння системи (можна і в друге, але це не так вигідно - там числа більше):

У чистовому оформленні рішення має виглядати приблизно так:

Відповідь:

Приклад 3

Вирішити систему лінійних рівнянь:

 

У даному прикладі можна використовувати «шкільний» метод, але великий мінус полягає в тому, що коли ми будемо висловлювати якусь змінну з будь-якого рівняння, то отримаємо рішення в звичайних дробах. А метушня з дробами займе час, до того ж, якщо у Вас не «набита рука» на діях з дробами, то велика вірогідність допустити помилку.

Тому доцільно використовувати почленное додавання (віднімання) рівнянь. Аналізуємо коефіцієнти при відповідних змінних:

  Як бачимо числа в парах (3 і 4), (4 і -3) - різні, тому, якщо скласти (відняти) рівняння прямо зараз, то від змінної ми не позбудемося. Таким чином, хотілося б бачити в одній з пар однакові по модулю числа, наприклад, 20 і 20 або 20 і -20. Будемо розглядати коефіцієнти при змінній х:

 

Підбираємо таке число, яке ділилося б і на 3 і на 4, причому воно повинно бути якомога менше. В математиці таке число називається найменшим спільним кратним. Якщо Вам важко з підбором, то можна просто перемножити коефіцієнти:

Далі:

Перше рівняння множимо на

Друге рівняння множимо на

В результаті:

Ось тепер з першого рівняння почленно віднімаємо друге. На всяк випадок наводжу ще раз дії, які проводяться подумки:

  Слід зазначити, що можна було б навпаки - з другого рівняння відняти перше, це нічого не змінює.

 

Тепер підставляємо знайдене значення в яке-небудь з рівнянь системи, наприклад, в перше:

Відповідь:

Вирішимо систему іншим способом. Розглянемо коефіцієнти при змінній

Очевидно, що замість пари коефіцієнтів (4 і -3) нам потрібно отримати 12 і -12.

Для цього перше рівняння множимо на 3, друге рівняння множимо на 4:

Почленно складаємо рівняння і знаходимо значення змінних:

Відповідь:

Системи рівнянь, в яких одне або обидва рівняння другого степеня.

1. Щоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, треба побудувати в одній системі координат графіки обох рівнянь системи й знайти координати точок перетину графіків. Ці точки і будуть розв’язками системи рівнянь.

Приклад 4:

Графіком першого рівняння є коло з центром в точці і радіусом 5 одиничних відрізків (див. рисунок нижче).

Графік другого рівняння — парабола, вітки якої напрямлені вниз (див. рисунок нижче).

, ,,

,

,

.

Точки перетину з осями координат: (0; 5); ;.

Система має чотири розв’язки: ;;;.Перевірка показує, що третій і четвертий розв’язки точні, а не наближені.

Відповідь: (0; 5); (4; 3); ;.

2. Системи рівнянь, у яких одне рівняння першого степеня, а друге — другого, зручно розв’язувати способом підстановки.

Приклад 5:

,

, ;,

Відповідь: ;.

3. Можна використовувати також спосіб додавання або комбінацію двох способів.

Приклад 6

Відповідь: (2,5; 2).

Приклад 7

Нехай ; . Отримаємо

Відповідь: .

Приклад 8

Відповідь: ; .