Поняття визначника
Нехай дана матриця другого порядку - квадратна матриця, що складається з двох рядків і двох стовпців.
Визначником
другого порядку, відповідним даної
матриці, називається число, що отримується
таким чином:
a11
a22
- a12
a21.
Визначник
позначається символом.
Отже, для того щоб знайти визначник другого порядку потрібно з твору елементів головної діагоналі відняти добуток елементів по другій діагоналі. Приклади. Обчислити визначники другого порядку.
1.
2.
.
3. Обчислити визначник матриці D, якщо D =-А +2 В і
Аналогічно можна розглянути матрицю третього порядку і відповідний їй визначник.
Визначником третього порядку, відповідним даної квадратної матриці третього порядку, називається число, що позначається і отримується таким чином:
.
Таким чином, ця формула дає розкладання визначника третього порядку за елементами першого рядка a11, a12, a13 і зводить обчислення визначника третього порядку до обчислення визначників другого порядку.
Приклади. Обчислити визначник третього порядку.
1. .
2. .
Системи лінійних однорідних рівнянь
1. Система може мати єдине рішення.
2. Система може мати нескінченну кількість рішень.
Наприклад,
.
Вирішенням цієї системи є будь-яка пара
чисел, що відрізняються знаком.
3. І третій випадок, коли система взагалі не має рішення.
Наприклад,
,
якщо б рішення існувало, то x1 + x2
дорівнювало б одночасно нулю і одиниці.
Система лінійних рівнянь, що має хоча б одне рішення, називається спільної. В іншому випадку, тобто якщо система не має рішень, то вона називається несумісною.
Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь з трьома невідомими:
Визначник третього порядку, відповідний матриці системи, тобто складений з коефіцієнтів при невідомих,
називається визначником системи.
Складемо ще три визначника наступним чином: замінимо у визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів
Тоді можна довести наступний результат.
Теорема (правило Крамера).
Якщо визначник системи Δ ≠ 0, то розглянута система має одне і тільки одне рішення, причому
Приклад 9. Вирішити систему рівнянь
.
Отже, х = 1, у = 2, z = 3.
Приклад 10
Вирішити систему за формулами Крамера.
Рішення: Вирішимо систему за формулами Крамера.
, Значить, система має єдине рішення.
Відповідь:
Приклад 11
Відповідь:
Приклад 12
х1 = Δ1/Δ = 2 х2 = Δ2/Δ = 1 х3 = Δ3/Δ = -2
Приклад 13
|
Δ = |
|
= |
1 · 1 · 1 + 2 · 2 · 3 - 4 · 5 · 1 - 4 · 1 · 3 + 2 · 1 · 1 - 1 · 2 · 5 = -27 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 1 = |
|
= |
31 · 1 · 1 + 2 · 2 · 10 - 4 · 29 · 1 - 4 · 1 · 10 + 2 · 1 · 31 - 1 · 2 · 29 = -81 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
1 · 29 · 1 + 31 · 2 · 3 + 4 · 5 · 10 - 4 · 29 · 3 - 2 · 10 · 1 - 1 · 31 · 5 = -108 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
1 · 1 · 10 + 2 · 29 · 3 - 31 · 5 · 1 - 31 · 1 · 3 + 29 · 1 · 1 - 10 · 2 · 5 = -135 |
|
Відповідь: х1 = Δ1/Δ = 3 х2 = Δ2/Δ = 4 х3 = Δ3/Δ = 5
Приклад 14
|
Δ = |
|
= |
- 1 · 2 · 2 + 1 · 1 · 1 + 4 · 3 · 1 + 4 · 2 · 1 - 1 · 1 · 1 - 2 · 1 · 3 = 10 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 1 = |
|
= |
- 11 · 2 · 2 + 1 · 1 · 5 + 4 · 10 · 1 + 4 · 2 · 5 - 1 · 1 · 11 - 2 · 1 · 10 = 10 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
- 1 · 10 · 2 - 11 · 1 · 1 - 4 · 3 · 5 + 4 · 10 · 1 + 1 · 5 · 1 + 2 · 11 · 3 = 20 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
- 1 · 2 · 5 + 1 · 10 · 1 + 11 · 3 · 1 + 11 · 2 · 1 - 10 · 1 · 1 - 5 · 1 · 3 = 30 |
|
х1 = Δ1/Δ = 1 х2 = Δ2/Δ = 2 х3 = Δ3/Δ = 3
Приклад 15
|
Δ = |
|
= |
1 · 2 · 2 + 1 · 1 · 2 - 3 · 3 · 1 - 3 · 2 · 2 - 1 · 1 · 1 + 2 · 1 · 3 = -10 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 1 = |
|
= |
2 · 2 · 2 + 1 · 1 · 0 + 3 · 1 · 1 - 3 · 2 · 0 - 1 · 1 · 2 - 2 · 1 · 1 = 7 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
1 · 1 · 2 + 2 · 1 · 2 - 3 · 3 · 0 - 3 · 1 · 2 - 1 · 0 · 1 + 2 · 2 · 3 = 12 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
- 1 · 2 · 0 - 1 · 1 · 2 + 2 · 3 · 1 + 2 · 2 · 2 + 1 · 1 · 1 - 0 · 1 · 3 = 13 |
|
Відповідь: х1 = Δ1/Δ = -0.7 х2 = Δ2/Δ = -1.2 х3 = Δ3/Δ = -1.3
Приклад 16
|
Δ = |
|
= |
1 · 2 · 1 + 1 · 1 · 9 + 1 · 4 · 3 - 1 · 2 · 9 - 1 · 3 · 1 - 1 · 4 · 1 = -2 |
|
|
Δ 1 = |
|
= |
0 · 2 · 1 + 1 · 1 · 3 + 1 · 1 · 3 - 1 · 2 · 3 - 1 · 3 · 0 - 1 · 1 · 1 = -1 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
1 · 1 · 1 + 0 · 1 · 9 + 1 · 4 · 3 - 1 · 1 · 9 - 1 · 3 · 1 - 1 · 4 · 0 = 1 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
1 · 2 · 3 + 1 · 1 · 9 + 0 · 4 · 3 - 0 · 2 · 9 - 1 · 3 · 1 - 3 · 4 · 1 = 0 |
|
Відповідь: х1 = Δ1/Δ = 0.5 х2 = Δ2/Δ = -0.5 х3 = Δ3/Δ = 0
Приклад 17
|
Δ = |
|
= |
1 · 5 · 4 + 2 · 7 · 1 + 3 · 3 · 3 - 3 · 5 · 1 - 7 · 3 · 1 - 4 · 3 · 2 = 1 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 1 = |
|
= |
3 · 5 · 4 + 2 · 7 · 1 + 3 · 0 · 3 - 3 · 5 · 1 - 7 · 3 · 3 - 4 · 2 · 0 = -4 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
1 · 0 · 4 + 3 · 7 · 1 + 3 · 3 · 1 - 3 · 0 · 1 - 7 · 1 · 1 - 4 · 3 · 1 = -13 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
1 · 5 · 1 + 2 · 0 · 1 + 3 · 3 · 3 - 3 · 5 · 1 - 0 · 3 · 1 - 1 · 3 · 2 = 11 |
|
Відповідь: х1 = Δ1/Δ = -4 х2 = Δ2/Δ = -13 х3 = Δ3/Δ = 11
Приклад 18
|
Δ = |
|
= |
1 · 7 · 6 + 3 · 5 · 1 + 2 · 2 · 4 - 2 · 7 · 1 - 5 · 4 · 1 - 6 · 3 · 2 = 3 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 1 = |
|
= |
1 · 7 · 6 + 3 · 5 · 26 + 2 · 18 · 4 - 2 · 7 · 26 - 5 · 4 · 1 - 6 · 3 · 18 = -132 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
1 · 18 · 6 + 1 · 5 · 1 + 2 · 2 · 26 - 2 · 18 · 1 - 5 · 26 · 1 - 6 · 1 · 2 = 39 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
1 · 7 · 26 + 3 · 18 · 1 + 1 · 2 · 4 - 1 · 7 · 1 - 18 · 4 · 1 - 26 · 3 · 2 = 9 |
|
Відповідь: х1 = Δ1/Δ = -44 х2 = Δ2/Δ = 13 х3 = Δ3/Δ = 3
Приклад 19
|
Δ = |
|
= |
- 1 · 1 · 3 + 1 · 1 · 0 + 1 · 0 · 1 - 1 · 1 · 0 + 1 · 1 · 1 - 3 · 1 · 0 = -2 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 1 = |
|
= |
- 2 · 1 · 3 - 1 · 1 · 5 - 1 · 1 · 1 + 1 · 1 · 5 + 1 · 1 · 2 + 3 · 1 · 1 = -2 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
1 · 1 · 3 - 2 · 1 · 0 - 1 · 0 · 5 + 1 · 1 · 0 - 1 · 5 · 1 + 3 · 2 · 0 = -2 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
- 1 · 1 · 5 + 1 · 1 · 0 + 2 · 0 · 1 - 2 · 1 · 0 + 1 · 1 · 1 - 5 · 1 · 0 = -4 |
|
Відповідь: х1 = Δ1/Δ = 1 х2 = Δ2/Δ = 1 х3 = Δ3/Δ = 2
Приклад 20
|
Δ = |
|
= |
- 2 · 5 · 3 + 5 · 4 · 4 + 1 · 1 · 1 - 1 · 5 · 4 + 4 · 1 · 2 - 3 · 5 · 1 = 24 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 1 = |
|
= |
- 2 · 5 · 3 - 5 · 4 · 4 - 1 · 5 · 1 + 1 · 5 · 4 + 4 · 1 · 2 + 3 · 5 · 5 = -12 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
2 · 5 · 3 - 2 · 4 · 4 - 1 · 4 · 1 + 1 · 5 · 4 - 4 · 4 · 2 + 3 · 2 · 1 = -12 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
- 2 · 5 · 4 + 5 · 5 · 4 + 2 · 1 · 1 - 2 · 5 · 4 + 5 · 1 · 2 - 4 · 5 · 1 = 12 |
|
Відповідь: х1 = Δ1/Δ = -0.5 х2 = Δ2/Δ = -0.5 х3 = Δ3/Δ = 0.5
Приклад 21
|
Δ = |
|
= |
2 · 2 · 1 + 1 · 3 · 7 - 2 · 1 · 1 - 2 · 2 · 7 - 3 · 1 · 2 + 1 · 1 · 1 = -10 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 1 = |
|
= |
5 · 2 · 1 + 1 · 3 · 10 + 2 · 3 · 1 - 2 · 2 · 10 - 3 · 1 · 5 - 1 · 1 · 3 = -12 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
2 · 3 · 1 + 5 · 3 · 7 - 2 · 1 · 10 - 2 · 3 · 7 - 3 · 10 · 2 + 1 · 5 · 1 = -6 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
- 2 · 2 · 10 - 1 · 3 · 7 + 5 · 1 · 1 + 5 · 2 · 7 + 3 · 1 · 2 - 10 · 1 · 1 = 10 |
|
Відповідь: х1 = Δ1/Δ = 1.2 х2 = Δ2/Δ = 0.6 х3 = Δ3/Δ = -1
Приклад 22
|
Δ = |
|
= |
5 · 2 · 2 - 1 · 3 · 4 - 1 · 1 · 3 + 1 · 2 · 4 - 3 · 3 · 5 + 2 · 1 · 1 = -30 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 1 = |
|
= |
0 · 2 · 2 - 1 · 3 · 16 - 1 · 14 · 3 + 1 · 2 · 16 - 3 · 3 · 0 + 2 · 1 · 14 = -30 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
5 · 14 · 2 + 0 · 3 · 4 - 1 · 1 · 16 + 1 · 14 · 4 - 3 · 16 · 5 - 2 · 0 · 1 = -60 |
| |||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
5 · 2 · 16 - 1 · 14 · 4 + 0 · 1 · 3 - 0 · 2 · 4 - 14 · 3 · 5 + 16 · 1 · 1 = -90 |
|
Відповідь: х1 = Δ1/Δ = 1 х2 = Δ2/Δ = 2 х3 = Δ3/Δ = 3
Приклад 23
|
Δ = |
|
= |
- 2 · 1 · 2 - 1 · 2 · 2 + 1 · 3 · 1 + 1 · 1 · 2 - 2 · 1 · 2 + 2 · 1 · 3 = -1 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 1 = |
|
= |
- 8 · 1 · 2 - 1 · 2 · 3 + 1 · 11 · 1 + 1 · 1 · 3 - 2 · 1 · 8 + 2 · 1 · 11 = -2 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 2 = |
|
= |
- 2 · 11 · 2 - 8 · 2 · 2 - 1 · 3 · 3 + 1 · 11 · 2 + 2 · 3 · 2 + 2 · 8 · 3 = -3 |
| |||||||||||||||||||||
|
Δ 3 = |
|
= |
2 · 1 · 3 + 1 · 11 · 2 - 8 · 3 · 1 - 8 · 1 · 2 + 11 · 1 · 2 - 3 · 1 · 3 = 1 |
|
Відповідь: х1 = Δ1/Δ = 2 х2 = Δ2/Δ = 3 х3 = Δ3/Δ = -1
Приклад 24
|
|
5 x1 |
-2 x2 |
-2 x3 |
= |
3 |
|
3 x1 |
+ 2 x2 |
+ x3 |
= |
3 | |
|
x1 |
+ x2 |
- x3 |
= |
-2 |
|
det A = |
|
5 |
-2 |
-2 |
|
=-25 |
|
3 |
2 |
1 | ||||
|
1 |
1 |
-1 |
|
det A1 = |
|
3 |
-2 |
-2 |
|
= - 25 |
|
3 |
2 |
1 | ||||
|
-2 |
1 |
-1 |
|
det A2 = |
|
5 |
3 |
-2 |
|
=25 |
|
3 |
3 |
1 | ||||
|
1 |
-2 |
-1 |
|
det A3 = |
|
5 |
-2 |
3 |
|
=-50 |
|
3 |
2 |
3 | ||||
|
1 |
1 |
-2 |
|
x1 = det A1 / det A = -25 / -25 = 1 |
|
x2 = det A2 / det A = 25 / -25 = -1 |
|
x3 = det A3 / det A = -50 / -25 = 2 |