Занятие 2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения. Модели надежности технических систем.

Задача №1.

Брошена кость. Определить вероятность выпадения четного числа очков.

Решение.

Обозначим события::

А– выпадение четного числа очков;

А₁–выпадение двух очков;

А₂–выпадение четырех очков;

А₃–выпадение шести очков.

А=А₁+А₂+А₃

А₁,А₂,А₃– события несовместные, следовательно,

P(A)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)

P(A₁)=P(A₂)=P(A₃)=1/6

P(A)=

Задача №2.

Брошена кость и монета. Определить вероятность выпадения пяти очков на кости и герба на монете.

Решение.

Обозначим события::

А– выпадение пяти очков на кости и герба на монете;

А₁–выпадение пяти очков;

А₂–выпадение герба.

А=А₁А₂

А₁и А₂– события независимые, следовательно,

P(A)=P(A₁)P(A₂)

P(A₁)=1/6

P(A₂=1/2

P(A)=

Задача №3.

Вероятность попадания в цель первого орудия равна 0.7, второго – 0.8. Найти вероятность поражения цели при залпе из двух орудий.

Решение.

Обозначим события::

А– поражение цели;

А₁–попадание первого орудия; P(A₁)=0.7

А₂–попадание второго орудия;P(A₂ =0.8

1-ый способ.

А=А₁+А₂

А₁и А₂– события совместные, следовательно,

P(A)=P(A₁)+P(A₂)-P(A₁A₂)

А₁и А₂– события независимые, следовательно,

P(A₁A₂)=P(A₁)P(A₂)

P(A)=0.7+0.8-0.7^.0.8

P(A)=0.94

2-ой способ.

Дополнительно обозначим:

Ā₁ – промах первого орудия; Ā₂ – промах второго орудия.

А₁ иĀ₁ – события противоположные, так как они несовместные и образуют полную группу. Поэтому

Р(Ā₁)=1–Р(А₁); Р(Ā₁)=1–0.7=0.3

Аналогично

Р(Ā₂)=1–Р(А₂); Р(Ā₂)=1–0.8=0.2

Представим событие А как сумму трех несовместных событий:

А=А₁А₂+А₁Ā₂+Ā₁А₂

Тогда

P(A)=P(A₁А₂)+P(А₁Ā₂)+P(Ā₁A₂)

А_1, А₂, Ā₁, Ā₂– события независимые, следовательно:

P(A₁A₂)=P(A₁)P(A₂)=0.7^.0.8=0.56

P(А₁Ā₂)=P(A₁)P(Ā₂)=0.7^.0.2=0.14

P(Ā₁A₂)=P(Ā₁)P(A₂)=0.3^.0.8=0.24

P(A)=0.56+0.14+0.16=0.94

3-ий способ.

Дополнительно обозначим:

Ā– поражения цели не было.

A и Ā– события противоположные.

Р(А)=1–Р(Ā)

Ā=Ā₁Ā₂

Ā₁, Ā₂– события независимые, следовательно:

Р(Ā)=P(Ā₁)P(Ā₂)=0.3^.0.2=0.06

Р(А)=1–0.06=0.94

Задача №4

Студент пришел на экзамен, зная 20 вопросов из 30. Определить вероятность того, что он знает предложенные ему три вопроса.

Решение.

Обозначим события::

А– студент знает предложенные ему три вопроса

А₁– знает первый вопрос;

А₂– знает второй вопрос;

А₃– знает третий вопрос;

А=А₁А₂А₃

События А_1,А_2,А₃ зависимые, так как вероятность того, что студент будет знать ответ на очередной вопрос зависит от того, знал ли он ответы на предыдущие вопросы.

P(А₁)=

P(А₂/А₁)=P(А₂/Ā₁)=

(Ā₁–студент не знает ответ на первый вопрос)

Р(А)=P(A₁A₂A₃)=P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)

P(A₃/A₁A₂)=

Р(А)==0.28

Задача №5

1. Определить надежность системы по заданной надежности ее элементов.

P–надежность всей системы.

P=P₁P_VI

P_VI=1-(1-P_IV)(1-P_V)

P_V=P₆P₇

P_IV=P₂P_III

P_III=1-(1-P₈)(1-P_II)

P_II=P_IP₅

P_I=1-(1-P₃)(1-P₄)

Контрольные вопросы:

1. Сумма двух событий.

2. Произведение двух событий.

3. Сумма нескольких событий.

4. Произведение нескольких событий.

5. Теорема о вероятности суммы двух событий.

6. Условная вероятность событий.

7. Теорема о вероятности произведения двух событий.

8. Вероятность произведения нескольких событий.

9. Противоположные события.

10. Вероятность суммы противоположных событий.

11. Определение независимости двух событий.

12. Определение независимости нескольких событий.

13. Вероятность произведения независимых событий.

14. Определение надежности технической системы.

15. Надежность системы с последовательным соединением элементов.

16. Надежность системы с параллельным соединением элементов.