Занятие 4. Дискретная случайная величина.

Задача 1.

В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Построить ряд распределения и многоугольник распределения для дискретной случайной величины Х – число нестандартных деталей среди четырех отобранных.

Решение.

По условиям задачи случайная величина Х может принимать значения 0,1,2,3,4. Поэтому для построения ряда распределения необходимо вычислить вероятности P{X=i} (i=0,1,2,3,4).

В партии 10% нестандартных деталей, значит, вероятность выбора нестандартной детали можно принять равной 0.1. Будем считать эту вероятность постоянной при выборе каждой детали и, следовательно, проводимые нами опыты являются независимыми. Тогда для определения искомых вероятностей P{X=i} (i=0,1,2,3,4) мы можем воспользоваться формулой Бернулли.

P{X=i}=P₄(i) P₄(i)=C₄ⁱpⁱ(1-p)^4-i p=0.1 1-p=0.9

P₄(0)=C₄⁰(0.1)⁰(0.9)⁴=0.6561

P₄(0)=C₄¹(0.1)¹(0.9)³=0.2916

P₄(0)=C₄²(0.1)²(0.9)²=0.0486

P₄(0)=C₄³(0.1)³(0.9)¹=0.0036

P₄(0)=C₄⁴(0.1)⁴(0.9)⁰=0.0001

Ряд распределения:

Х	0	1	2	3	4
Р	0.6561	0.2916	0.0486	0.0036	0.0001

Многоугольник распределения:

Задача 2.

В партии из шести деталей четыре детали стандартные. Наудачу отобраны три детали. Рассматривается случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных. Для этой случайной величины построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения, а также вычислить: m_x, D_x, σ_x , P{1≤X<3}.

Решение.

По условиям задачи случайная величина Х может принимать значения 1,2,3. Поэтому для построения ряда распределения необходимо вычислить вероятности P{X=i} (i=1,2,3).

Для вычисления этих вероятностей используем формулу непосредственного подсчета вероятности: P=(m/n).

Элементарным событием для данной задачи является любое сочетание трех деталей, выбранных из имеющихся шести. Поэтому:

n=C₆³=[6!/(3!^.3!)]=20

Число сочетаний благоприятствующих тому ,чтобы в выборке из трех деталей будет одна стандартная определяется следующим образом:

m=C₄¹C₂²=4^.1=4

P{X=1}=4/20=0.2

Для X=2: m=C₄²C₂¹=[4!/(2!^.2!)]^.2=6^.2=12 P{X=2}=12/20=0.6

Для X=3: m=C₄³C₂⁰=[4!/(3!^.1!)]^.1=4 P{X=3}=4/20=0.2

Ряд распределения:

Х	1	2	3
Р	0.2	0.6	0.2

Многоугольник распределения:

Построим интегральную функцию распределения F(x)=P{X<x}.

x≤1 F(x)=P{X<x}=0

1<x≤2 F(x)=P{X<x}=P{X=1}=0.2

2<x≤3 F(x)=P{X<x}=P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.6=0.8

x>3 F(x)=P{X<x}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.2+0.6+0.2=1

0 x≤1

F(x) = 0.2 1<x≤2

0.8 2<x≤3

1 x>3

График интегральной функции распределения имеет вид:

m_x=1^.0.2+2^.0.6+3^.0.2=2

D_x=α₂-m_x² α₂=

α₂=1^2.0.2+2^2.0.6+3^2.0.2=0.2+2.4+1.8=4.4

D_x=4.4-2²=0.4

σ_x=√(D_x) σ_x=√(0.4)=0.6325

P{1≤X<3}=F(3) – F(1) P{1≤X<3}=1 – 0.2 = 0.8

Контрольные вопросы:

1. Определение дискретной случайной величины.

2. Определение закона распределения случайной величины.

3. Ряд распределения.

4. Многоугольник распределения.

5. Интегральная функция распределения случайной величины. Определение и свойства.

6. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (математическое ожидание, мода, медиана).

7. Начальные и центральные моменты случайных величин. Свойства моментов случайных величин.

8. Биномиальный закон распределения случайных величин.