Занятие 5. Непрерывная случайная величина.

Задача 1.

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения

Определить:, значение параметра a, вероятность , построить графики функций .

Решение.

Функция плотности , следовательно:

Для определения значения параметра a воспользуемся свойством .

Таким образом, интегральная функция распределения имеет вид:

Функция плотности имеет вид:

Вероятность попадания случайной величины на заданный отрезок [a, b] определяетсяпо формуле:или.

График функции плотности f(x):

График интегральной функции распределения F(x):

Задача 2.

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:

Определить значение параметра a, интегральную функцию распределения F(x), значения mx, Dx, σx, построить графики функций f(x) и F(x).

Решение.

Для определения значения параметра a воспользуемся свойством .

Функция плотности имеет вид:

Интегральная функция распределения F(x) определяется по формуле:

1)

2)

3)

График функции плотности f(x):

График интегральной функции распределения F(x):

Контрольные вопросы:

1. Определение непрерывной случайной величины.

2. Определение закона распределения случайной величины.

3. Интегральная функция распределения случайной величины. Определение и свойства.

4. Плотность распределения вероятности. Определение и свойства.

5. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

6. Определение функции распределения по известной плотности распределения.

7. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (математическое ожидание, мода, медиана).

8. Начальные и центральные моменты случайных величин. Свойства моментов случайных величин.

9. Равномерный закон распределения случайной величины (дифференциальная и интегральная функции распределения и их графики; числовые характеристики; вероятность попадания случайной величины на заданный участок).

10. Показательный закон распределения (дифференциальная и интегральная функции распределения и их графики; числовые характеристики; вероятность попадания случайной величины на заданный участок).

11. Нормальный закон распределения (дифференциальная и интегральная функции распределения и их графики; числовые характеристики; вероятность попадания случайной величины на заданный участок).

Занятие 6.

Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных.

Задача.

Для заданной выборки значений случайной величины:

1. Построить статистический ряд распределения.

2. Построить гистограмму.

3. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины.

Алгоритм решения задачи.

1. Построение статистического ряда распределения.

• Найти среди элементов выборки минимальный (x_min) и максимальный (x_mam).

• Определить длину интервалов Δ (рекомендуемая точность вычисления 0,001)

• Определить границы интервалов разбиения

• Определить числа попадания значений случайной величины в i-ый интервал m_i. (В случае попадания значения случайной величины на границу двух интервалов, следует относить его к каждому интервалу со значением 0,5)

• Определить частоту попадания случайной величины i-ый интервал

p_i*=m_i/n n=120

• Результаты оформить в виде таблицы.

2. Построение гистограммы.

• Определить значение ординаты i-ого интервала . Результаты добавить в таблицу.

• Построить график гистограммы. Для построения графика гистограммы откладывают по оси абсцисс интервалы, на каждом из которых строят прямоугольник, площадь которого равна частоте p_i*. высота прямоугольника равна h_i.

3. По виду гистограммы визуально определяем вид теоретического распределения, к которому ближе всего подходит исследуемое распределение.

Примеры решения задачи.

Вариант А.

Исходные данные:

4.8467	12.9628	9.3495	16.4017	9.0761	16.5549	7.0532	7.6100
7.9379	3.3204	2.9131	13.7651	14.1493	5.4408	3.7188	3.2660
9.0316	5.0934	13.1611	8.8034	6.2457	17.3561	17.4386	9.1817
5.5954	15.7492	18.3164	2.9781	14.0546	8.9109	14.8116	11.0091
9.7844	14.3664	9.6883	3.4857	5.4967	12.2179	12.2765	13.9716
12.2953	2.9978	11.1385	2.9056	5.9705	15.7652	11.5515	15.2869
13.3486	16.5690	15.2977	4.2808	5.5114	9.0305	10.7604	6.4758
17.6075	14.8104	15.8264	7.4771	11.9982	14.9045	6.6351	10.4492
11.1525	9.8217	4.6938	17.8907	13.4044	7.6967	8.2409	15.1920
14.1967	12.8126	7.7323	13.5751	14.2777	6.0178	5.7643	4.5950
13.3691	5.3586	14.1319	15.4431	7.7789	13.3484	14.5843	4.8413
9.2909	14.2548	10.9000	18.9062	16.5063	4.5667	13.5597	10.9410
12.2266	15.7549	8.7716	5.1522	17.5212	19.0202	6.1730	7.5362
3.3680	12.0995	11.9077	10.1777	13.5423	3.2311	10.3137	7.1981
6.4126	3.2374	6.3173	16.4537	12.0274	6.8320	13.0451	15.5925

x min	x max	i(x max-x min)
2.9056	19.0202	1.3429

№ интерв	xi	xi+1	mi	pi*	hi	fi теор
1	2.9056	4.2485	11	0.0917	0.0683	0.0621
2	4.2485	5.5914	12	0.1000	0.0745	0.0621
3	5.5914	6.9343	11	0.0917	0.0683	0.0621
4	6.9343	8.2772	10	0.0833	0.0621	0.0621
5	8.2772	9.6200	9	0.0750	0.0559	0.0621
6	9.6200	10.9629	9	0.0750	0.0559	0.0621
7	10.9629	12.3058	12	0.1000	0.0745	0.0621
8	12.3058	13.6487	11	0.0917	0.0683	0.0621
9	13.6487	14.9916	13	0.1083	0.0807	0.0621
10	14.9916	16.3344	9	0.0750	0.0559	0.0621
11	16.3344	17.6773	9	0.0750	0.0559	0.0621
12	17.6773	19.0202	4	0.0333	0.0248	0.0621
			120	1

Выдвигается гипотеза о равномерном законе распределения исследуемой случайной величины.

Вариант В.

Исходные данные:

0.5718	0.4201	0.0054	2.4551	0.1314	1.5684	0.5216	0.1879
0.4130	0.5402	1.9503	1.2811	0.1957	0.7998	0.1335	0.0082
1.2281	3.1938	0.9514	0.0082	0.1967	1.7396	2.6439	0.9671
0.1403	1.2313	0.2690	0.1469	0.2181	0.9203	1.7799	0.2274
0.1562	1.3141	0.9110	0.0241	3.1630	0.4248	0.2749	0.8385
0.5489	1.1208	0.9304	0.1770	0.8186	0.0424	0.1160	0.0154
0.4316	0.5002	0.5212	2.9174	1.0317	0.7882	3.4780	2.3309
0.8717	0.3496	2.5385	0.5295	0.3284	0.5653	0.1509	0.9061
0.5127	0.0072	0.2274	1.0646	0.2277	7.6930	0.1261	0.1431
1.4845	3.5396	2.7041	0.4184	0.9752	0.7858	1.2992	0.9314
0.1748	1.4368	1.9304	1.8643	2.6358	0.6962	2.4378	0.1051
1.2127	0.4849	3.8199	0.6695	3.8569	0.3125	0.0432	2.4774
4.8876	1.4134	1.2387	3.0755	2.5019	0.9097	0.3139	0.5477
0.8412	0.4366	0.5867	0.9634	0.9505	0.9788	1.3310	0.7883
0.2675	0.3500	1.1479	0.0953	0.3248	0.7912	1.2008	1.4677

x min	x max	i(x max-x min)
0.0054	7.6930	0.6406

№ интерв	xi	xi+1	mi	pi*	hi	fi теор
1	0.0054	0.6460	55	0.4583	0.7154	0.6839
2	0.6460	1.2866	33	0.2750	0.4293	0.3784
3	1.2866	1.9273	11	0.0917	0.1431	0.2093
4	1.9273	2.5679	8	0.0667	0.1041	0.1158
5	2.5679	3.2085	7	0.0583	0.0911	0.0641
6	3.2085	3.8492	3	0.0250	0.0390	0.0354
7	3.8492	4.4898	1	0.0083	0.0130	0.0196
8	4.4898	5.1305	1	0.0083	0.0130	0.0108
9	5.1305	5.7711	0	0.0000	0.0000	0.0060
10	5.7711	6.4117	0	0.0000	0.0000	0.0033
11	6.4117	7.0524	0	0.0000	0.0000	0.0018
12	7.0524	7.6930	1	0.0083	0.0130	0.0010
			120	1

Выдвигается гипотеза о показательном законе распределения исследуемой случайной величины.

Вариант С.

Исходные данные:

21.9127	33.9000	17.8108	20.6635	28.0139	20.4649	32.0696	32.7042
47.5807	26.8992	21.0090	32.7729	32.3879	39.6364	27.0290	28.7844
27.3458	31.1870	13.5304	9.4052	25.6430	25.0631	26.4673	16.8856
19.2236	26.3964	23.7193	19.1509	21.0568	17.4472	29.3717	36.8890
37.2957	22.1205	25.4153	28.5411	25.0545	24.4811	18.4894	30.1899
16.7999	25.2566	33.9311	19.1669	33.5968	21.9890	29.0924	9.7886
35.1000	39.9651	27.0621	20.4999	23.8667	31.4315	33.8930	16.5916
20.2323	18.0676	23.5023	34.9182	17.8181	25.2655	15.4520	19.4361
24.2995	26.4716	18.4080	25.9534	36.1375	28.8333	22.8759	26.3660
36.9573	31.8018	28.6831	21.4950	34.5344	28.9821	23.4336	20.3173
30.2262	13.0123	14.2993	47.1693	26.5753	26.8632	20.3616	32.2115
32.2176	36.7825	27.4694	28.1868	26.7761	39.0296	22.4707	33.9070
19.6587	25.2319	12.0670	22.2327	21.5765	10.8404	28.4685	29.6275
42.2819	5.0627	23.4138	18.3602	19.5600	32.0359	33.3359	23.7446
39.0005	27.8452	24.6446	28.0512	23.8713	37.2355	28.3752	23.7889

x min	x max	i(x max-x min)
5.0627	47.5807	3.5432

№ интерв	x(i)	x(i+1)	m(i)	p*(i)	h(i)	f теор
1	5.0627	8.6059	1	0.0083	0.0024	0.0023
2	8.6059	12.1491	4	0.0333	0.0094	0.0065
3	12.1491	15.6922	4	0.0333	0.0094	0.0149
4	15.6922	19.2354	13	0.1083	0.0306	0.0277
5	19.2354	22.7785	18	0.1500	0.0423	0.0417
6	22.7785	26.3217	20	0.1667	0.0470	0.0507
7	26.3217	29.8649	26	0.2167	0.0612	0.0500
8	29.8649	33.4080	13	0.1083	0.0306	0.0399
9	33.4080	36.9512	11	0.0917	0.0259	0.0258
10	36.9512	40.4943	7	0.0583	0.0165	0.0135
11	40.4943	44.0375	1	0.0083	0.0024	0.0057
12	44.0375	47.5807	2	0.0167	0.0047	0.0020
			120	1

Выдвигается гипотеза о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины.

Контрольные вопросы:

1. Предмет математической статистики и ее основные задачи.

2. Простая и упорядоченная статистическая совокупность.

3. Статистическая функция распределения.

4. Статистический ряд распределения.

5. Гистограмма.