Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Metodichka_TV_i_MS.doc
Скачиваний:
22
Добавлен:
27.02.2016
Размер:
757.76 Кб
Скачать

Занятие 2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения. Модели надежности технических систем.

Задача №1.

Брошена кость. Определить вероятность выпадения четного числа очков.

Решение.

Обозначим события::

А– выпадение четного числа очков;

А1–выпадение двух очков;

А2–выпадение четырех очков;

А3–выпадение шести очков.

А=А123

А123– события несовместные, следовательно,

P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)

P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/6

P(A)=

Задача №2.

Брошена кость и монета. Определить вероятность выпадения пяти очков на кости и герба на монете.

Решение.

Обозначим события::

А– выпадение пяти очков на кости и герба на монете;

А1–выпадение пяти очков;

А2–выпадение герба.

А=А1А2

А1и А2– события независимые, следовательно,

P(A)=P(A1)P(A2)

P(A1)=1/6

P(A2=1/2

P(A)=

Задача №3.

Вероятность попадания в цель первого орудия равна 0.7, второго – 0.8. Найти вероятность поражения цели при залпе из двух орудий.

Решение.

Обозначим события::

А– поражение цели;

А1–попадание первого орудия; P(A1)=0.7

А2–попадание второго орудия;P(A2 =0.8

1-ый способ.

А=А12

А1и А2– события совместные, следовательно,

P(A)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)

А1и А2– события независимые, следовательно,

P(A1A2)=P(A1)P(A2)

P(A)=0.7+0.8-0.7.0.8

P(A)=0.94

2-ой способ.

Дополнительно обозначим:

Ā1 – промах первого орудия; Ā2 – промах второго орудия.

А1 иĀ1 – события противоположные, так как они несовместные и образуют полную группу. Поэтому

Р(Ā1)=1–Р(А1); Р(Ā1)=1–0.7=0.3

Аналогично

Р(Ā2)=1–Р(А2); Р(Ā2)=1–0.8=0.2

Представим событие А как сумму трех несовместных событий:

А=А1А21Ā21А2

Тогда

P(A)=P(A1А2)+P(А1Ā2)+P(Ā1A2)

А1, А2, Ā1, Ā2– события независимые, следовательно:

P(A1A2)=P(A1)P(A2)=0.7.0.8=0.56

P(А1Ā2)=P(A1)P(Ā2)=0.7.0.2=0.14

P(Ā1A2)=P(Ā1)P(A2)=0.3.0.8=0.24

P(A)=0.56+0.14+0.16=0.94

3-ий способ.

Дополнительно обозначим:

Ā– поражения цели не было.

A и Ā– события противоположные.

Р(А)=1–Р(Ā)

Ā=Ā1Ā2

Ā1, Ā2– события независимые, следовательно:

Р(Ā)=P(Ā1)P(Ā2)=0.3.0.2=0.06

Р(А)=1–0.06=0.94

Задача №4

Студент пришел на экзамен, зная 20 вопросов из 30. Определить вероятность того, что он знает предложенные ему три вопроса.

Решение.

Обозначим события::

А– студент знает предложенные ему три вопроса

А1– знает первый вопрос;

А2– знает второй вопрос;

А3– знает третий вопрос;

А=А1А2А3

События А1,А2,А3 зависимые, так как вероятность того, что студент будет знать ответ на очередной вопрос зависит от того, знал ли он ответы на предыдущие вопросы.

P(А1)=

P(А21)=P(А21)=

1–студент не знает ответ на первый вопрос)

Р(А)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)

P(A3/A1A2)=

Р(А)==0.28

Задача №5

  1. Определить надежность системы по заданной надежности ее элементов.

P–надежность всей системы.

P=P1PVI

PVI=1-(1-PIV)(1-PV)

PV=P6P7

PIV=P2PIII

PIII=1-(1-P8)(1-PII)

PII=PIP5

PI=1-(1-P3)(1-P4)

Контрольные вопросы:

  1. Сумма двух событий.

  2. Произведение двух событий.

  3. Сумма нескольких событий.

  4. Произведение нескольких событий.

  5. Теорема о вероятности суммы двух событий.

  6. Условная вероятность событий.

  7. Теорема о вероятности произведения двух событий.

  8. Вероятность произведения нескольких событий.

  9. Противоположные события.

  10. Вероятность суммы противоположных событий.

  11. Определение независимости двух событий.

  12. Определение независимости нескольких событий.

  13. Вероятность произведения независимых событий.

  14. Определение надежности технической системы.

  15. Надежность системы с последовательным соединением элементов.

  16. Надежность системы с параллельным соединением элементов.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]