- •Методичні вказівки до практичних робіт
- •З дисципліни "Обчислювальна математика"
- •Для студентів заочного відділення кі Сум ду
- •Методи розв'язування нелінійних рівнянь
- •Метод половинного поділу (бісекцій або діхотомії)
- •Метод січних (хорд, пропорційних частин)
- •Метод Ньютона (дотичних)
- •Метод хорд та дотичних (комбінований метод)
- •Метод простих ітерацій
- •Методи розв'язування систем нелінійних рівнянь
- •Метод простих ітерацій
- •Метод Зейделя
- •Метод Ньютона
- •Метод прямокутників
- •Метод трапецій
- •Метод Сімпсона (парабол)
Метод Сімпсона (парабол)
У цьому методі під інтегральну функцію на проміжку замінюють квадратичною параболою, графік якої – парабола, що проходить через точки
Рис. 6.4. Геометрична інтерпретація методу Сімпсона.
Тобто виконують квадратичну інтерполяцію функції . Застосуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа для побудови рівняння параболи, що проходить через ці точки:
Тоді
Розділимо інтервал на парну кількість однакових відрізків і позначимо. Тоді наближене значення інтеграла
Похибка методу Сімпсона
Формула Сімпсона є точною для многочленів не вище третього степеня.
Практичну оцінку похибки можна одержати за правилом Рунге, виконавши обчислення з кроком і. З (6.6) випливає, що похибка зміниться в 16 разів, тобто. Тоді , звідки.
Приклад. Обчислимо за формулою Сімпсона інтеграл при .
Обчислення ведемо з шістьма знаками після коми. Оцінимо похибку результату за правилом Рунге. Порівняємо результат з точним значенням інтеграла.
Розв'язування. Значення підінтегральної функції в окремих точках проміжку запишемо в таблицю 6.2.
Таблиця 6.2
Значення
|
|
при |
при |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0,125 |
0,984625 |
|
2 |
0,25 |
0,941176 |
0,941176 |
3 |
0,375 |
0,876712 |
|
4 |
0,5 |
0,800000 |
0,800000 |
5 |
0,625 |
0,719101 |
|
6 |
0,75 |
0,640000 |
0,640000 |
7 |
0,875 |
0,566389 |
|
8 |
1,0 |
0,500000 |
0,500000 |
За формулою Сімпсона отримаємо для
Для
Похибка обчислень:
Отже всі шість знаків обчисленого інтеграла повинні бути правильними. Знайдемо точне значення інтеграла
що підтверджує отриманий за формулою Сімпсона результат.