- •Методичні вказівки до практичних робіт
- •З дисципліни "Обчислювальна математика"
- •Для студентів заочного відділення кі Сум ду
- •Методи розв'язування нелінійних рівнянь
- •Метод половинного поділу (бісекцій або діхотомії)
- •Метод січних (хорд, пропорційних частин)
- •Метод Ньютона (дотичних)
- •Метод хорд та дотичних (комбінований метод)
- •Метод простих ітерацій
- •Методи розв'язування систем нелінійних рівнянь
- •Метод простих ітерацій
- •Метод Зейделя
- •Метод Ньютона
- •Метод прямокутників
- •Метод трапецій
- •Метод Сімпсона (парабол)
Метод прямокутників
Інтервал розділимо нап відрізків . На кожному відрізкуфункція замінюється сталою . Це означає, що площа криволінійної трапеції замінювана площею прямокутника з основою і висотою(рис. 6.2). Тоді
Рис. 6.2. Геометрична інтерпретація методу прямокутників
Якщо відрізки однакові, то введемо змінну, , тоді
де – залишковий член або похибка квадратурної формули (6.2).
Похибку методу прямокутників можна отримати з формули Тейлора
Оскільки перший інтеграл дорівнює нулю, то
У результаті отримаємо похибку методу прямокутників:
– крок обчислень.
Формула прямокутників дає точні результати для многочленів першого степеня.
Формулу (6.2) називають також формулою середніх прямокутників. Якщо за висоту прямокутника взяти або, то можна отримати формули, відповідно, лівих і правих прямокутників.
З (6.3) випливає, що зменшення кроку удвічі приводить до збільшення точності в чотири рази, тобто . Звідси маємо практичний спосіб (правило Рунге) оцінки похибки. Обчислюючи (6.3) з кроком 2і потім з кроком , отримуємо звідки
Приклад. Обчислимо , з використанням формули прямокутників, розділивши інтервал інтегрування на 10 однакових частин.
Розв'язування. Позначимо
і = 0,1,...9. Тоді за формулою прямокутників
Точки поділу відрізка і значення функції в точках поділу наведені в таблиці 6.1.
Таблиця 6.1.
|
|
|
метод прямокутників |
метод трапецій |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1,1 |
1,05 |
1,025 |
|
2 |
1,2 |
1,15 |
1,072 |
1,095 |
3 |
1,3 |
1,25 |
1,118 |
|
4 |
1,4 |
1,35 |
1,162 |
1,183 |
5 |
1,5 |
1,45 |
1,204 |
|
6 |
1,6 |
1,55 |
1,245 |
1,265 |
7 |
1,7 |
1,65 |
1,285 |
|
8 |
1,8 |
1,75 |
1,323 |
1,342 |
9 |
1,9 |
1,85 |
1,360 |
|
10 |
2,0 |
1,95 |
1,369 |
1,414 |
Підставимо всі значення в формулу прямокутників: . Оцінимо похибку. Оскільки ,то
Отже,
Обчислимо для порівняння цей інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:
Отже, інтеграл , обчислений за формулою прямокутників, має всі цифри правильні.
Метод трапецій
У методі трапецій під інтегральну функцію на проміжку замінюють лінійною функцією, графік якої – пряма, що проходить через точки
Рис. 6.3. Геометрична інтерпретація методу трапецій.
Тобто виконують лінійну інтерполяцію функції . Площу криволінійної трапеції замінюють площею трапеції з основоюі висотою. Тоді
Якщо відрізки ,і = 0,1,..., n – 1 однакові, то введемо змінну , і тоді інтеграл
Похибка методу трапецій
Якщо порівняти (6.5) з (6.3), то можна зауважити, що похибка методу трапецій удвічі більша, ніж методу прямокутників. Для практичної оцінки похибки можна використати співвідношення (6.4). Формула трапецій є точною для многочленів першого степеня.
Приклад. Обчислимо інтеграл , використовуючи формулу трапецій при
Розв’язування. Відшукуємо точки поділу відрізка і значення функції в точках поділу. Отримані дані записано в табл. 6.1.3 їхнім урахуванням отримаємо
Оцінимо похибку обчислення
З використанням формули трапецій отримуємо два правильні знаки після коми, враховуючи, що точне значення інтеграла І = 1,219.