Метод половинного поділу (бісекцій або діхотомії)

Нехай (1) причомунеперервна наі<0. Знаходимо. Якщо, то- корінь (1). Якщо ні – то вибираємо із половині, на кінцях якоїмає протилежні знаки. Отриманий відрізок розділимо навпіл точкою . Якщо , то значення коренях* =с. В іншому випадку вибираємо таку половину відрізка, на якій функція змінює знак, і його знову ділимо навпіл. На -тому кроці маємо<0,Тоді корінь.

Процес поділу продовжуємо доти, доки довжина відрізка не стане меншою . Тоді координата середини отриманого відрізка буде значенням кореня х* з точністю .

Метод є простим, надійним і стійким до похибок округлення алгоритмом. Якщо корені не відокремлені, то таким способом можна знайти один із коренів (1).

Метод бісекцій збігається для будь-яких неперервних функцій, однак швидкість збіжності невелика. Кількість ітерацій, необхід­них для досягнення точності , оцінюють співвідношенням

.

Метод половинного поділу доцільно використовувати для грубого знаходження кореня даного рівняння, тому що при збільшенні точності значно зростає об’єм обчислювальної роботи. Має лінійну збіжність. Неможливе узагальнення на системі нелінійних рівнянь.

Приклад 1. Методом половинного поділу знайти корінь рівняння.

.

Відокремимо корені: для інтервалу (0;1):

Для інтервалу (-2;-1):

Приклад 2. Знайти корінь рівняння методом половинного поділу з точністю

<

<

Метод січних (хорд, пропорційних частин)

Має більшу швидкість збігання, ніж метод половинного поділу.

У методах типу Ньютона потрібно обчислювати похідну , що не завжди зручно. Якщо її замінити розділеною різницею першо­го порядку, обчисленою на двох останніх ітераціях

то з (2.4) отримаємо ітераційну формулу узагальненого методу хорд:

(3)

Геометрична інтерпретація методу: дотичну до точки замінює січна, проведена через точки і.

Метод (3) належить до так званих двокрокових: для знаход­ження -го наближення потрібно мати інформацію про два попередні наближення. Для запуску ітераційного процесу (3) перше наближення потрібно обчислити будь-яким однокроковим методом, або ж задати. Наближення х₂ і наступні обчислю­ють за формулою (3).

Метод хорд має дещо меншу швидкість збіжності, ніж метод Ньютона, однак у ньому не потрібно обчислювати на кожному кроці значення похідної .

Якщо зафіксувати кінцеву точку відрізка, для якої виконується співвідношення (3) і позначити її через ,то з (3) отримаємо традиційну формулуметоду хорд:

(4)

На рисунку показано графічну інтерпретацію традиційного методу хорд.

Алгоритм методу. Нехай для визначеності < 0 і>0, де- відрізок, на якому відокремлений корінь.Тоді замість поділу відрізканавпіл, як це робиться у методі половинного поділу, більш доцільно буде розділити його у відношенні. Це дає приблизне значення кореня:.

Застосовуючи цей прийом до того з відрізків або, на кінцях якого функціямає протилежні знаки, отримаємо друге наближення коренятощо.

Геометрично спосіб пропорційних частин (хорд) еквівалентний заміні кривої хордою, яка проходить через точкиі. Величини…зображені на рис. 2.

Рис. 2. Графічна інтерпретація методу хорд

Аналізуючи розташування кривих отримаємо:

• нерухомою залишається та точка кривої, для якої знак функції збігається зі знаком її другої похідної;

• послідовні наближення лежать по ту сторону кореня, де функціямає знак, який протилежний знаку її другої похідної.

Для оцінки точності можна скористатись теоремою 5:

, де при.

Оцінка точності по двом значенням наближень і:, де- найменше (найбільше) значення модуля похідноїна відрізку.

Приклад 1. Знайти додатній корінь рівняння методом хорд:

з точністю .

Відокремлюємо корені на відрізку

Так як при, а на відрізку, то<<. Точне значення кореня.

Збіжність методу хорд – лінійна порядку , але більш висока, ніж збіжність методу половинного поділу.

Приклад 2. Знайти корінь рівняння методом хорд з точністю.

Відокремимо корінь на відрізку . Тоді:

Так як <,<, то.

Інколи користуватися методом хорд вигідніше, тому що в ньому треба обчислювати тільки значення функції.

Недоліком методу можна вважати наявність у знаменнику різниці функцій, яка може привести до втрати значущих чисел поблизу кореня («розхитування» розрахунку), а це обмежує точність знаходження кореня.

Від «розхитування» захищаються за допомогою так званого прийому Гарвіка. Взявши не мале , ведуть розрахунки до виконання умови:, потім продовжують вести розрахунки до зменшення величини. Як тільки ця різниця почне збільшуватись, розрахунки припиняють і останню ітерацію не використовують, тобто за наближене значення кореня беруть.