Метод Ньютона (дотичних)

Є одним із найбільш популярних чисельних методів. Має другий порядок збіжності і допускає різні модифікації, які застосовуються при розв’язуванні задач і сіткових рівнянь. Але він застосовується при досить жорстких обмеженнях на функцію

Розглянемо рівняння (1) і припустимо, що на відрізку функція двічі диференційована, причому ´і´´ не дорівнюють нулю на . Виберемо початкове наближенняі проведемо в точцідотичну до кривої (рис. 3). Рівняння дотичної має вигляд:

´

Нехай і знайдемо точку перетинудотичної з віссюОХ , абсциса якої буде наближенням кореня :

Рис. 3. Геометрична інтерпретація методу Ньютона

У точці знову проводимо дотичну до кривої та отримаємо наступне наближення кореня. Продовжуючи цей процес, отри­маємо ітераційну формулуметоду Ньютона:

(5)

Геометрична інтерпретація методу полягає в заміні невеликої дуги кривої дотичною, яка приводиться в точцікривої.

Метод Ньютона можна розглядати як частковий випадок мето­ду простих ітерацій, якщо

Тоді умова збіжності матиме вигляд

Суттєвим є вибір початкового наближення. Невдало вибране початкове наближення, наприклад, х₀ = а на рис. 3, унеможливлює шукання кореня. Початкове наближення х₀ треба виби­рати так, щоб виконувалася умова

(6)

Теорема 1. Достатні умови збіжності методу Ньютона.

Нехай виконуються такі умови:

1. функція визначена та двічі диференційована на відрізку;

2. відрізку належить тільки один простий коріньтак, що<0;

3. похідні таназберігають знак, і;

4. початкове наближення задовольняє нерівності>0 (знаки функційтав точцізбігаються).

Тоді методом Ньютона (5) можна визначити корінь рівняння з довільною точністю.

Загалом метод Ньютона характеризується другим порядком збіжності в околі кореня і першим порядком – за його межами.

Теорема 2. Достатні умови збіжності методу Ньютона.

Нехай:

1) визначена у відкритому інтервалі;

2) є ліпшиць-неперервного константоюдля;

3) для деякого >0 виконується умовадля.

Тоді, якщо рівняння має розв’язок, то послідовність, яка визначається (5) існує та збігається до. Більш того

Зауваження 1. Якщо , то- кратний корінь, а метод Ньютона збігається лінійно.

Точність -го наближення:, де- найменше значенняна відрізку. Інша оцінка:, де.

Зауваження 2. Метод Ньютона може застосовуватися не тільки для знаходження простих коренів, тобто коли на відрізку , який містить корінь, не виконується умова<0.

Зауваження 3. Виконання умов теорем гарантує збіжність метода Ньютона тільки для "гарного" початкового наближення :>0 ів околі кореня.

Приклад 1. Обчислити методом Ньютона від’ємний корінь рівняння з 5 вірними знаками.

Інтервал кореня: , причому´<>0 при.

Так як >0 і, то за вихідне наближення приймаємо. Послідовні наближення наведені в таблиці:

0	-11	3453	-5183	0,66622
1	-10,33378	308,0708	-4277,077	0,07203
2	-10,26175	3,28807	-4185,823	0,00079
3	-10,26098	0,06536	-4184,8545	0,00002
4	-10,26096	-0,01833	-4184,829	-0,000004

Відповідь:

Приклад 2. Знайти за методом Ньютона найменший додатний корінь рівняння з точністю до 0,0001.

Будуємо графіки і. Інтервал кореня. Запишемо рівняння у вигляді. Тоді:.

Так як <0,<0 приі<0, то за початкове наближення приймаємо.

0		-1	-4,712	-0,21222
1	4,50017	-0,02974	-4,3993	-0,00676
2	4,49341	-0,00012	-4,38604	-0,00002

Для оцінки похибки знаходимо: , тому що<0 при. Тоді<0,00003, тобто:. Враховуючи попередній аналіз, остаточно:, де.

Приклад 3. Методом Ньютона з точністю знайти корінь трансцендентного рівняння, причому шуканий корінь.

На множині виконуються умови теореми 1, які забезпечують збіжність метода дотичних>0 на множині.<0>0. Тоді>0. Тому початкове наближення.

	0	1	2	3
	1,000	0,73304	0,70381	0,703467
	–	0,27	0,029	0,00034
	0,63212	0,05690	0,00065

.

Приклад 4. Побудувати ітераційну формулу Ньютона для рівняння . Розв’язування. Застосовуючи (5). отримаємо

Це відома формула Герона для наближеного відшукання квадратного кореня числа а .

Зауваження. Якщо на проміжку похідна змінюєть­ся мало, то можна прийняти , і тоді (5) перетво­риться до вигляду

Це формула модифікованого методу Ньютона. При її застосуванні не треба обчислювати на кожній ітерації, що дає відчут­ний виграш у об’ємі обчислень, особливо колискладного типу. Однак швидкість збіжності модифікованого методу стає лі­нійною, а це означає, що порівняно з методом Ньютона для до­сягнення тієї ж точності потрібно виконати більшу кількість іте­рацій.

Рис. 4. Геометрична інтерпретація методом Ньютона

На рис. 4 показано геометричну інтерпретацію модифіко­ваного методу Ньютона. Для першої ітерації будуємо дотичну, а всі наступні отримуємо за допомогою січних, паралельних до до­тичної на першій ітерації.

Приклад 5. Порівняємо метод Ньютона з методом хорд. У таблиці наведено хід ітерацій у разі добування квадратного кореня з а = 16 . Перші два наближен­ня взяті однаковими. З порівняння видно, що метод хорд збігається повільніше.

n	за методом Ньютона	хп за методом хорд
0	2.0000	2.0000
1	5.0000	5.0000
2	4.1000	3.7143
3	4.0012	3.9673