Методи розв'язування систем нелінійних рівнянь

Нехай задано систему нелінійних рівнянь зневідомими,

, (1)

яку можна записати у векторному вигляді:

де ;;.

Потрібно знайти розв'язок ; системи (1) такий, що

Розв’язання цієї системи є набагато складнішою задачею, ніж розв’язування одного рівняння. Такі системи розв’язують, як правило, ітераційними методами. Для трьох і більше змінних задовільних способів знаходження нульових наближень немає, але іноді можна вибрати, виходячи з фізичних міркувань або з аналізу задачі.

Зауваження 1. Проблема розв’язку системи (1) виникає при розв’язуванні багатьох прикладних задач. Наприклад, пошук безумовного екстремуму функцій багатьох змінних за допомогою необхідних умов, при застосуванні неявних методів інтегрування звичайних диференціальних рівнянь тощо.

Зауваження 2. Задача знаходження комплексних коренів може бути зведена до задачі розв’язування 2 рівнянь з невідомими. Для цього вважаютьта дійсну і уявну частини функції

Зауваження 3. Початкове наближення для всіх методів, які розглядаються, для випадку двох змінних можна знайти графічно, визначивши координати точки перетину прямих, що опускаються, рівняннями:і

Зауваження 4. Задача (1) може бути зведена до задачі пошуку мінімуму функції . Її мінімальне значення (рівне нулю) додається в точці, яка є розв’язком системи (1):.

Метод простих ітерацій

Перетворимо систему рівнянь (1) до еквівалентного вигляду

, , (2)

або у векторній формі , де, а- визначені та неперервні в околі кореня.

Виберемо початкове наближення; тоді наступні наближення отримаємо за формулою

(3)

При цьому ітерації закінчуються, якщо: .

Дослідимо умови збіжності ітераційного процесу (3). Про­аналізуємо похибку окремої компоненти на (s +1)-й ітерації. Припустимо, що вектор-функція φ (х) має неперервні частинні похідні в деякому околі розв'язку ξ=х* . Тоді, застосовуючи фор­мулу скінчених приростів Лагранжа, запишемо так:

(х^(s))(х^(*)) =

, (4)

де - деяка проміжна точка, причомуξ.

Позначимо через М_s матрицю Якобі

Тоді (4) можна записати у матричному вигляді:

х–х=(х^(s)) -(х) = М(х) –х), звідки

х–х=МММ(х⁽⁰⁾) – х),

і достатня умова збіжності ітераційного процесу (3) буде така:

МММдля .

На практиці користуються зручнішою умовою. Введемо мат­рицю М з елементами:

М=.

Виконується така теорема.

Теорема 1. Якщо функції неперервні разом зі своїми перши­ми похідними в деякій області , що містить розв'язок х*, то для збіжності методу (3) необхідно і достатньо, щоб модулі всіх власних чисел матриці М були менші від одиниці < 1, а по­чаткове наближення ― в околі розв’язку х*.

Для виконання цієї умови достатньо, щоб норма матриці М була меншою від одиниці, тобто виконувалася одна з умов:

Ці умови будуть виконуватися, якщо

тобто модулі діагональних елементів матриці будуть більші від суми модулів інших елементів відповідних рядків.

Для системи рівнянь диференційованих функцій,маємо такі достатні умови збіжності методу простих ітерацій.

Теорема 2. Про достатню умову збіжності метода простих ітерацій.

Нехай функції і, неперервні в області, причому виконана нерівність

<1 (5)

Якщо послідовні наближення (3) не виходять із області , от процес послідовних наближень збіжнийі векторєдиним розв’язком системи (2).

Зауваження 1. Ітераційний процес (3) відповідає паралельному процесу ітерацій, тому що для обчислення наближення усіх змінних враховуються тільки знайдені раніше-наближення.

Зауваження 2. Система (1) може бути перетворена до вигляду (2) різними способами таким чином, щоб використовувалась умова збіжності (5). Один зі способів, наприклад, полягає у перетворенні:

, де- неособлива матриця,,

- матриця Якобі.

Якщо , то потрібно вибрати інше початкове наближення.

Зауваження 3. У якості можна використовувати інші норми векторів.

Зауваження 4. Замість (5) можна використовувати:

<1 (5’)

Зауваження 5. Умови (5), (5’) виконуються, якщо: <1.

Оцінку похибки s-го наближення можна описати нерівністю

Збіжність методу ітерацій вважають доброю, якщо N <, у цьому разі

< 1, тобто якщо в двох послідовних наближеннях збігаються, наприклад, перші три десяткові знаки після коми, то похибка останнього наближення не перевищує 0,001.

Приклад 1. Перевірити систему

на збіжність ітераційного процесу, припускаючи, що розв'язок належить області

Розв'язування. Перетворимо систему до вигляду

і обчислимо частинні похідні

Отже,

< 1;< 1,

умови збіжності виконуються.

Приклад 2. Методом простих ітерацій з точністю 0,001 знайти корені системи: які розташовані в І квадранті.

Запишемо систему у вигляді, зручному для ітерацій:

Знаходимо частинні похідні:

де.

Для вибору початкового наближення знаходимо координати точок перетину кривих і