2. Перестановки, підстановки та інверсії

Розглянемо множину , яка складається з перших натуральних чисел

.

Ці числа можна записати й в іншому порядку:

або

Означення 3. Множину перших натуральних чисел, записаних у деякому певному порядку, називають перестановкою з чисел або з елементів.

Перестановку з чисел в загальному вигляді записують так: . У цьому записі кожен із символів означає одне з чисел , причому жодне з цих чисел не зустрічається двічі.

Дві перестановки і з чисел вважають різними, якщо, принаймні, одне з чисел не дорівнює числу .

Теорема 3. Число різних перестановок з елементів дорівнює .

За можна взяти будь-яке з чисел . Тому для вибору маємо можливостей. Якщо вибрано, то за можемо взяти будь-яке одне зчисел, що залишилися після вибору . Звідси випливає, що число можливостей для вибору йдорівнює добутку. Якщойзафіксовані, то заможна взятийі число можливостей для вибору,йдорівнює добуткуі т.д. Отже, число можливостей для виборудорівнює добутку.

Якщо зафіксовані, то заможна взяти лише одне число, що залишилися після вибору.

Тому число всіх можливостей для вибору дорівнює добуткуі число всіх перестановок зелементів дорівнює .

Якщо в деякій перестановці поміняємо місцями будь-які два її елементи, а всі інші елементи залишимо на місці, то дістанемо нову перестановку.

Означення 4 . Перетворення перестановки, при якому деякі два її елементи міняються місцями, а решта елементів залишаються нерухомими, називається транспозицією.

Так, внаслідок транспозиції елементів 6 і 7 у перестановці дістанемо перестановку.

Від кожної перестановки з елементів можна перейти до будь-якої іншої перестановки з цих самих елементів за допомогою кількох транспозиції.

Говорять, що в перестановці елементиіутворюютьінверсію, якщо , алестоїть в цій перестановці лівіше від. Так, в перестановціелементи 5 і 4 утворюють інверсію, ф 1 і 3 інверсії не утворюють.

Означення 5. Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій і непарною – в протилежному випадку.

Так, перестановка – парно при будь-якому, оскільки число інверсій в ній дорівнює нулю.

–перестановка парна, число інверсій в ній 8,

–непарна, число інверсій 15.

Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

При число парних перестановок зелементів дорівнює числу непарних, тобто.

Множина А взаємно однозначно відображена сама на себе, якщо вказано правило, за яким кожному елементу відповідає один і тільки один елементі кожен елементє відповідним для одного і тільки одного елемента.

Приклад. Нехай — множина всіх цілих чисел. Кожному цілому числу т поставимо у відповідність ціле число. Цим буде задано взаємне однозначне відображення множинисамої на себе.

Нехай є множина першихнатуральних чисел:

.

Означення 6. Будь яку взаємне однозначне відображення множини самої на себе називають підстановкою цієї множини або підстановкою-го степеня.

Підстановка позначатимемо: та ін. Якщо при підстановцічисловідображаються в число, то записують

(11)

тобто під кожним з чисел підписують те число, в яке воно відображується. Запис (11) слід читати так: при підстановціодин переходить в, два переходить впереходить в. Оскільки підстановка є взаємно однозначним відображенням, то всі числарізні і, отже, другий рядок запису (11) є деякою перестановкою з елементів.

Стовпці в записі (11) можна поміняти місцями. В результаті дістанемо запис тієї самої підстановки, але все іншого вигляду. Наприклад,

,

є різні записи тієї самої підстановки .

Отже, будь-яку підстановку -го степеня можна записати