5. Критерій сумісності та визначеності системи лінійних рівнянь

Нехай дано систему лінійних рівнянь з невідомими

(18)

де . Розглянемо матрицю А і розширену матрицю цієї системи

,

Позначимо – множину векторів-стовпців матриці А і – множину векторів-стопців матриці . Запишемо систему (18) у векторній формі

. (19)

Теорема 4. Кронекера-Капеллі (критерій сумісності системи лінійних рівнянь). Система лінійних рівнянь (18) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці цієї системи дорівнює рангові її розширеної матриці.

Необхідність .

Нехай система (18) сумісна, тобто існує деякий її розв’язок , який перетворює систему (18) в тотожність

Це означає, що вектор є лінійною комбінацією векторів . За теоремою 4 § 3 “якщо з множиною векторів вилучити вектор, який лінійно виражається через решту векторів цієї множини, то ранг новоутвореної множини дорівнює рангу початкової множини”, ранги множин і збігаються, тобто .

Достатність. Припустимо, що ранг матриці дорівнює рангові матриці , і доведемо, що система (18) сумісна. Виділимо із системи всіх стовпців матриці А базис. Нехай він утворений першими всіх стовпцями. Оскільки ранг матриці також дорівнює , то ті ж самі стовпці і в матриці утворюють базис. А тому вектор можна розкласти за цим базисом. Отже, існують числа такі, що

Перепишемо цю рівність у вигляді

і, порівнюючи її з (19), переконується, що одним із розв’язків системи (18) є .

Отже, система лінійних рівнянь (18) сумісна.

Для з’ясування питання про сумісність конкретної системи лінійних рівнянь обчислюють ранг матриці і ранг розширеної матриці цієї системи і потім застосовують теорему Кронекера-Капелі. Після того, як встановлено, що розглядувана система сумісна, постає питання, визначена ця система чи ні. Відповідь на нього дає така теорема.

Теорема 5. (критерій визначеності системи лінійних рівнянь). Для того, щоб сумісна система лінійних рівнянь була визначеною, необхідно й достатньо, щоб ранг матриці цієї системи дорівнював числу невідомих, що входять до системи.

Необхідність. Нехай система (18) має єдиний розв’язок , тобто є визначеною. Доведемо, що ранг матриці А цієї системи дорівнює . Припустимо, що , тоді система векторів – лінійно залежна, тобто є такі числа , які не всі рівні нулю, що

.

Тоді тобто система (18) має розв’язок

відмінний від розв’язку , що суперечить умові. Тому припущення, що , неправильне, і, отже, .

Достатність . Нехай система (18) сумісна і . Доведемо, що система (18) визначена, тобто має тільки один розв’язок. Припустимо, що система (18) має два різні розв’язки: і .

Тоді і .

Віднімемо від першої рівності другу, матимемо

. (20)

Оскільки то в рівності (20) не всі коефіцієнти дорівнюють нулю, і тому система векторів лінійно залежна. Це суперечить умові, що . Тому припущення, що система (18) має два різні розв’язки, неправильне. Отже, система (18) має лише один розв’язок, тобто є визначеною.

Приклад. Розв’язати систему лінійних рівнянь

Запишемо розширену матрицю цієї системи

Обчислимо ранги матриці системи лінійних рівнянь і розширеної матриці шляхом зведення до ступінчастої

.

Отже, система сумісна і має єдиний розв’язок: .