§ 6. Визначники

1. Визначники другого і третього порядку. Правило Крамера

Нехай дано систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими

(1)

Нехай . Розв’яжемо систему (1) методом Гауса. Від другого рівняння системи (1) віднімемо перше її рівняння, помножене на . Дістанемо ступінчасту систему

(2)

еквівалентну системі (1). Якщо , а то друге рівняння системи (2) є рівняння вигляду , і отже, система (1) несумісна. Якщо і , то друге рівняння системи (2) є рівнянням вигляду і тому система (1) визначена. Якщо ж , то система (1) визначена. Тоді з другого рівняння системи (2) дістанемо

, (3)

а з першого – .

(3) – єдиний розв’язок системи (1).

Розглянемо матрицю системи (1)

. (4)

Вираз, що є знаменникам в формулах (3) утворюється з елементів матриці (4) за правилом: береться добуток елементів головної діагоналі і віднімається від нього добуток елементів другої діагоналі матриці.

Означення 1. Визначником матриці другого порядку називається число .

Визначник матриці (4) позначають

або (5)

Наприклад,

Треба відрізняти матрицю (4) від її визначника (5): матриця – це таблиця, а її визначник є число.

Зауважимо, що у формулах (3) чисельники також є визначниками другого порядку.

, .

Їх знаходимо з визначника (5) заміною відповідно першого і другого його стовпця вільних членів системи (1). Враховуючи це, формули (3) можна записати так:

, .

Отже, довели таку теорему.

Теорема 1. Якщо визначник матриці системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими відмінний від нуля, то система (1) має розв’язок і притому тільки один. Цей єдиний розв’язок задається формулами

, , (6)

де і є визначники, добуті з визначника заміною відповідно першого і другого його стовпців з вільних членів системи (1).

Теорему 1 називають правилом Крамера, а формули (6) – формулами Крамера.

Розглянемо систему лінійних рівнянь

(7)

Складемо матрицю з коефіцієнтів при невідомих

. (8)

Якщо ми помножимо обидві частини першого із рівнянь системи (7) на число , обидві частини другого рівняння на , третього – на і потім складемо все три рівняння то, як легко перевірити, коефіцієнти при і будуть рівними нулю, тобто ці невідомі виключаються, і ми отримаємо рівність

(9)

Коефіцієнт при в цій рівності називається визначником або детермінантом матриці (8).

Означення 2. Визначником матриці третього порядку називається число

Вираз, визначника матриці третього порядку досить громіздкий. Правило складання його таке: Перший член визначника є добутком елементів головної діагоналі, два інші із знаком плюс – добутком елементів розміщених на паралелі до цієї діагоналі з приєднанням третього множника з протилежного кута матриці. Члени із знаком мінус утворюються аналогічно з елементів, розміщених на другій діагоналі і на паралелях до неї. Правило обчислення додатних і від’ємних членів визначника третього порядку можна подати схематично (рис 7).

Приклад.

(Рис. 7)

Права частина рівності (9) також є визначник третього порядку – визначник матриці, яку дістанемо з матриці (8) замінимо її першого стовпця стовпцем із вільних членів системи (7).

.

Аналогічно, помноживши (7) відповідно на числа , , , знайдемо .

Нарешті, помноживши (7) відповідно на , , дістанемо .

Теорема 2. (правило Крамера). Якщо визначник матриці системи (7) трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими відмінними від нуля, то система (7) має єдиний розв’язок. Цей розв’язок задається формулами

, , . (10)

де – визначник, яких дістанемо з визначника заміню його -го стовпця стовпцем з вільних членів системи (7).

Приклад. Розв’язати систему

Обчислюємо визначник з коефіцієнтів системи

Оскільки , то система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера (10).

Обчислюємо визначник :

Отже, ,