Методы оптимизации семинары

где

m

L(x, y1 ,..., yn , y1′,..., y′n ,λ1 (x),...,λm (x)) = F(x, y1 ,..., yn , y1′,..., yn′ ) + åλj (x)ϕ j (x, y1 ,..., yn , y1′,...y′n ) .

j=1

Функция L(x,y1,y2,…,yn,y1′,…,yn′,λ1(x),…,λm(x)) называется функцией Лагранжа, а λj(x) множителями Лагранжа.

Для того чтобы применить необходимые условия экстремума в поставленной задаче надо выполнить следующие действия.

1.Составить функцию Лагранжа.

2.Записать систему уравнений Эйлера для функции Лагранжа и условия связи

ϕ j (x, y1 (x),..., yn (x), y1′(x),..., yn′ (x)) = 0, j =1,2,...,m,

3.Найти общее решение системы уравнений Эйлера.

4.Определить постоянные C1,…,C2n из граничных условий, решая

систему

yi(x0, C1,…, C2n ) = yi0 , i = 1,2,…,n, yi(x1, C1,…, C2n ) = yi0, i = 1,2,…,n,

ивыражения для множителей Лагранжа λj(x), j = 1,2,…,m.

Врезультате получить экстремали y1* (x), y2* (x),..., yn* (x) , на которых может

достигаться экстремум функционала.

Пример 1. Найти экстремали функционала

y1′ − y2 = 0.

Найдем общее решение системы и определим постоянные из граничных условий

C1 = 0, C2 =1, C3 =1, C4 = 0.

В результате получим экстремали

y1* (x) = xex + e− x , y2* (x) = (x +1)ex − e−x .

3.3. Задачи на условный экстремум с интегральными связями. Изопериметрические задачи

Рассмотрим множество M допустимых функций y1(x), y2(x),…,yn(x), непрерывно дифференцируемых на отрезке [ x0, x1 ], удовлетворяющих граничным условиям yi(x0) = yi0, yi(x1) = yi1, i = 1,2,…,n и интегральным связям

где подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные до

Поставленная задача относится к задачам поиска условного экстремума, так как кроме граничных условий на искомые функции наложены дополнительные условия.

Искомые экстремали в этом случае удовлетворяют системе уравнений Эйлера, Lyi − dxd Lyi′ = 0, i =1,2,...n , составленной для функционала

x1

J (y1 , y2 ,..., yn ) = òL(x, y1 ,..., yn , y1′,..., y′n ,λ1 ,...,λm )dx

x0

m

где L(x, y1 ,..., yn , y1′,..., y′n ,λ1 ,...,λm ) = F(x, y1 ,..., yn , y1′,..., y′n ) + åλj Fj (x, y1 ,..., yn , y1′,...y′n )

j=1

Для того чтобы применить необходимые условия экстремума в поставленной задаче надо выполнить следующие действия.

1.Составить функцию Лагранжа.

2.Записать систему уравнений Эйлера для функции Лагранжа и условия связи

3.Найти общее решение системы уравнений Эйлера.

4.Определить постоянные C1,…,C2n из граничных условий, решая

систему

yi(x0, C1,…, C2n ) = yi0 , i = 1,2,…,n, yi(x1, C1,…, C2n ) = yi0, i = 1,2,…,n,

ивыражения для множителей Лагранжа λj, j = 1,2,…,m.

Врезультате получить экстремали y1* (x), y2* (x),..., yn* (x) , на которых может

достигаться экстремум функционала.

Пример 1. Найти экстремаль функционала

1

J (y(x)) = ò y′2 (x)dx, y(0) = 0, y(1) = 5,

0

удовлетворяющую интегральной связи ò1 xy(x)dx =1.

0

Составим функцию Лагранжа L(x,y,y′,λ) = y′ 2 + λxy. Запишем уравнение Эйлера и уравнение связи

Fy − dxd Fy′ = λx − 2y′′ = 0,

1

òxy(x)dx =1.

0

Найдем общее решение уравнения Эйлера и выражение для λ

В результате получим экстремаль y*(x) = 5x3.

Глава 5. Задачи оптимального управления

1. Постановка задачи

Переход управляемого объекта из одного состояния в другое может быть осуществлен различными способами. Возникает вопрос о выборе такого пути, который с некоторой точки зрения окажется наиболее выгодным.

Будем рассматривать объект, состояние которого в фиксированный момент времени описывается набором из n чисел x1,x2,…xn - фазовых координат. Состояние объекта в каждый момент времени можно изобразить точкой n- мерного фазового пространства Rn.

Движение объекта проявляется в том, что его фазовые координаты меняются с течением времени. При движении объекта фазовая точка x(t) = (x1(t),x2(t),…,xn(t)) описывает в фазовом пространстве кривую – фазовую траекторию.

Движение объекта происходит не самопроизвольно, им можно управлять. Для этого объект снабжен “рулями “, положение которых характеризуется в каждый момент времени r числами u1,u2,…,ur, называемыми управляющими параметрами, которые образуют вектор управления u = (u1,u2,…,ur). Исходя из реальных обстоятельств рассматриваемой задачи, существует множество допустимых управлений U, u(t) U Rr .

Поведение модели объекта описывается дифференциальным

уравнением

x′(t) = f(t,x(t),u(t)),

где x(t)- вектор состояния системы x(t) = (x1(t),x2(t),…,xn(t)), u(t) - вектор управления u(t) = (u1(t),u2(t),…,ur(t)), f(t,x(t),u(t))- непрерывная, вместе со своими частными производными, вектор-функция f(t,x(t),u(t)) = (f1(t,x(t),u(t)), f2(t,x(t),u(t)),…, fn(t,x(t),u(t))), t принадлежит промежутку времени функционирования системы [t0,t1].

Для решения задач оптимального управления разработан принцип максимума.

Если управление u*(t) и соответствующая ему траектория x*(t) оптимальны, то найдется такая вектор – функция ψ (t) = (ψ1 (t), ψ 2 (t), ..., ψ n (t))T ,

что:

1. в каждой точке непрерывности управления u*(t) функция H (t, ψ (t), x* (t), u) достигает максимума по управлению, то есть

maxH (t, ψ (t), x* (t), u) = H (t, ψ (t), x* (t), u* (t)),

u U

n

где H (t, ψ , x, u) = åψ j f j (t, x, u) − f 0 (t, x, u);

j=1

2.выполняется условие трансверсальности:

n

δF(t1 ) − H (t1 )δt1 + åψ j (t1 )δx j = 0.

j=1

3. функции x*(t), Ψ(t) удовлетворяет системе уравнений

Функции ψ1 (t), ..., ψ n (t) называются вспомогательными переменными,

H(t, Ψ, x, u) –гамильтонианом.

Для применения принципа максимума надо:

n

1. Составить гамильтониан H (t, ψ , x, u) = åψ j f j (t, x, u) − f 0 (t, x, u) .

j=1

2.Найти структуру оптимального управления u*(t) из условия максимума гамильтониана по управлению.

3.Составить систему дифференциальных уравнений с заданными в задаче условиями.

4.Из условия трансверсальности получить недостающие условия для уравнений составленной системы.

5.Решить двухточечную краевую задачу для системы канонических уравнений. В итоге определяются x*(t), u*(t), на которых может достигаться экстремум функционала.

2.Примеры решения задач оптимального управления

2.1. Задачи с фиксированными концами

Пример 1. Даны модель объекта управления

0

Найти оптимальную пару x*(t), u*(t).

В этом примере f(t, x, u)=u, f0(f, x, u)=u2+x2, F(t1, x(t1))=0. Решается задача Лагранжа. Составляем гамильтониан H(t, Ψ, x, u)=Ψu-u2-x2. Находим максимум гамильтониана по управлению:

Необходимое и достаточное условия максимума выполнены. Выпишем систему уравнений:

Так как задача с фиксированными концами, то все необходимые краевые условия имеются. Решаем полученную двухточечную краевую задачу:

Пример 2. Даны модель объекта управления

и функционал J= 1 ò2 u2 (t)dt → min. 2 0

В этом примере f1(t, x, u)=x2, f2(t, x, u)=u, f0(f, x, u)= 12 u2, F(t1, x)=0.

Решается задача Лагранжа. Составляем гамильтониан:

H(t, Ψ, x, u)=Ψ1x2+Ψ2u- 12 u2.

Находим максимум гамильтониана по управлению:

Необходимое и достаточное условия максимума выполнены. Выписываем систему дифференциальных уравнений:

Так как задача с фиксированными концами, то все необходимые краевые условия имеются. Решаем полученную двухточечную краевую задачу:

Из краевых условий находим постоянные C1, C2, C3, C4:

x1 (0) = C4 = 1, x1 (2) = − 43 C1 + 2C2 + 2C3 + C4 = 0, x2 (0) = C3 = 1, x2 (2) = −2C1 + 2C2 + C3 = 0.

Получим C1=-3, C2= − 72 .

Найти оптимальное управление.

и функционал

J= ò1 u2 (t)dt - x(1) ® min.

0

Найти оптимальную пару x*(t), u*(t). В этом примере: f(t, x, u)=x+u, f0(t, x, u)=u2, F(t, x)=-x.

Решается задача Больца. Составляем гамильтониан:

H(t, Ψ, x, u)=Ψ(x+u)- u2.

Находим максимум гамильтониана по управлению:

Необходимое и достаточное условия выполнены. Выписываем систему дифференциальных уравнений:

x∙ (t)=x(t)+u*(t)=x(t)+ψ2(t) , x(0)=0, ψ∙ (t) =- ¶¶x H(t, Ψ, x, u)=-Ψ(t).

Для решения системы необходимо еще одно краевое условие. Находим его из условия трансверсальности:

n

δF(t1)-H(t1)δt1+åψ j (t1 )δx j =0.

j=1

F(t1, x)=-x, δF=-δx, t1=1, δt1=0.

Ограничений на x(t1) не наложено, поэтому δx произвольна. В результате получим:

(Ψ(t1)-1)δx=0, Ψ(1)-1=0, Ψ(1)=1.

Решаем полученную двухточечную краевую задачу:

x∙ (t) = x(t) + ψ2(t) , x(0)=0, ψ∙ (t)=-Ψ(t), Ψ(1)=1.

Ψ(t)=C1e-t, 1=C1e-t, C1=e, Ψ(t)=e1-t, x∙ (t) - x(t) = e1−t .

2

Решим неоднородное дифференциальное уравнение. Общее решение соответствующего однородного уравнения x0(t)=Cet, частное решение

и функционал J=x2(2π)→min.

Найти оптимальную пару x*(t), u*(t). В этом примере на управление наложено ограничение:

u £ 1. f0(t, x, u)=0, f1(t, x, u)=x2, f2(t, x, u)=-x1+u, F(t1, x)=x2.

Решается задача Майера. Составляем гамильтониан:

H(t, Ψ, x, u)=Ψ1x2+Ψ2(-x1+u).

Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как имеются ограниченные на управление, то ищется условный максимум гамильтониана по управлению. В данной задаче гамильтониан лишен по u на заданном отрезке изменения управления [-1, 1], поэтому оптимальное управление

имеет вид: u*(t)=sign(Ψ2(t))= ì1, ψ 2 (t) > 0 .

íî -1, ψ 2 < 0

Величина управления определяется знаком функции Ψ2(t). Выписываем каноническое уравнение принципа максимума:

∙

x1 (t) =x2(t), x1(0)=0,

x∙ 2 (t) =-x1(t)+u*(t)=-x1(t)+sign(Ψ2(t)), x2(0)=0, ψ∙ 1 (t) =- ¶¶x1 H(t, Ψ, x, u)=Ψ2(t),

ψ∙2 (t) =- ∂∂x2 H(t, Ψ, x, u)=-Ψ1(t).

Для решения системы необходимо еще два краевых условия. Найдем

n

их из условия трансверсальности: δF(t1)-H(t1)δt1+ åψ j (t1 )δx j = 0 .

j=1

F(t1, x)=x2, δF=δx2, t1=2π, δt2=0, ограничений на x1(t), x2(t) не наложено,

поэтому вариации δx2, δx1 произвольные. В результате получим:

δx2(t1)+Ψ1(t1)δx1(t1)+Ψ2(t1)δx2(t1)=0, или δx2(t1)(1+Ψ2(t1))+δx1(t1)Ψ1(t1)=0.

Чтобы равенство выполнялось для любых вариациях, необходимо, чтобы выполнились условия 1+Ψ2(t1)=0 и Ψ1(t1)=0, или Ψ2(2π)=-1, Ψ1(2π)=0.

Решаем двухточечную краевую задачу:

∙

x1 (t) =x2(t), x1(0)=0,

∙

x2 (t) =-x1(t)+sign(Ψ2(t)), x2(0)=0,

∙

ψ 1 (t) =Ψ2(t), Ψ1(2π)=0,

∙

ψ 2 (t) =-Ψ1(t), Ψ2(2π)=-1.

Получим Ψ1(t)=-sin(t), Ψ2(t)=-cos(t), u*(t)=sign(-cos(t)). Найденное оптимальное уравнение u*(t) на интервале [0, 2π] имеет две точки переключения и, следовательно, три интервала знакопостоянства:

при 0 ≤ t < π2 , u*=-1, x1*=cos(t)-1, x2*=-sin(t);

при π2 ≤ t < 32π , u*=1, x1*=cos(t)-2sin(t)+1, x2*=-sin(t)-2cos(t);

при 32π ≤ t < 2π , u*=-1, x1*=cos(t)-4sin(t)-1, x2*=-sin(t)-4cos(t).

Минимальное значение функционала x2*(2π)=-4. Пример 3. Даны модель объекта управления

∙

x(t) = u(t) , x(0)=0, u ≤ 1, x R

и функционал J= ò6 (2x + u2 )dt → min .

0

Найти оптимальную пару x*(t), u*(t). В этом примере на управление наложено ограничение u ≤ 1, f0(t, x, u)=2x+u2, f1(t, x, u)=u, F(t1, x)=0.

Решается задача Лагранжа. Составляем гамильтониан H(t, Ψ, x, u)=Ψu- (2x+u2). Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как имеется ограничение на управление, то ищется условный максимум.

∂∂H H (t, Ψ, x, u)=Ψ-2u=0, u*=ψ2 , u ≤ 1,

Для решения системы необходимо еще одно краевое условие. Найдем

n

его из условия трансверсальности: δF(t1)-H(t1)δt1+ åψ j (t1 )δx j = 0 .

j=1

В данном случае δF=0, t1=2, δt1=0, поэтому Ψ(t1)δx(t1)=0.

На фазовую траекторию никаких ограничений нет, поэтому вариация δx(t1) произвольная, тогда следует, что Ψ(t1)=0 или Ψ(6)=0. Решаем