Методы оптимизации семинары

2.3. Функционалы, зависящие от производных высшего порядка одной функции

Рассмотрим множество M допустимых функций y(x), m раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [ x0,x1 ], удовлетворяющих граничным

условиям

y(x0) = y0, y(i)(x0) = y0(i), i = 1,2,…,m-1, y(x1) = y1, y(i)(x1) = y1(i), i = 1,2,…,m-1.

На множестве M задан функционал

x1

J ( y(x)) = òF(x, y(x), y¢(x),..., y(m) (x))dx ,

x0

где функция F(x,y,y′,…,y(m)) дифференцируема ( m + 2) раза по всем аргументам.

Среди допустимых кривых y(x), принадлежащих множеству M, требуется найти кривую y*(x), на которой функционал достигает экстремума, то есть

x1

J ( y* (x)) = extr òF(x, y(x), y¢(x),..., y(m) (x))dx.

y( x) M x0

Искомая кривая является решением дифференциального уравнения Эйлера – Пуассона

Итак, для того чтобы применить необходимые условия экстремума в поставленной задаче надо выполнить следующие действия.

1.Записать уравнение Эйлера-Пуассона.

2.Найти общее решение уравнения y = y(x,C1,…,C2m).

3.Определить постоянные С1, С2,…, С2m из граничных условий и записать выражение для экстремали y*(x).

Пример 1. Найти экстремаль функционала

1

J (y(x)) = ò( y¢¢2 - 48y)dx,

0

удовлетворяющую граничным условиям y(0) = 1, y′(0) = -4, y(1) = y′(1) = 0. Составим уравнение Эйлера-Пуассона

Решим дифференциальное уравнение, определим константы и запишем уравнение экстремали.

удовлетворяющую граничным условиям y(0)=y’(0)=y’(1)=0, y(1)=1. Составим уравнение Эйлера-Пуассона:

Решим дифференциальное уравнение, определим константы и запишем уравнение экстремали

0

Удовлетворяющую граничным условиям y(0)=y’(0)=1, y(1)=y’(1)=e cоставим уравнение Эйлера-Пуассона:

y(4)-2y’’’+y’’=0

Решим дифференциальное уравнение, определим константы и запишем уравнение экстремали

y(x)=C1+C2x+C3 ex+C4 xex. y(0)=C1+C3=1, y’(0)=C2+C3+C4=1 y(1)=C1+C2+C3 e+C4 e=e y’(1)=C2+C3 e+2C4 e=e

Отсюда получаем C1=C2=C4=0, C3=1.

Найти экстремали функционалов, зависящих от производных высшего порядка одной функции.

0

Отв. y*=x4.

9. J(y(x))= ò1 (1 + x 2 + 2 y '''2 )dx , y(0)=1, y’(0)=0, y’’(0)=-2, y(1)=2,

0

y’(1)=6, y’’(1)=22. Отв. y*=2x4-x2+1.

( y '2 + y ''2 )dx , y(0)=0, y(1)=e-2, y’(0)=0, y’(1)=e-1. Отв.

y*=ex-x-1.

2.4. Метод вариаций с подвижными границами

Рассмотрим множество M допустимых функций y(x), удовлетворяющих следующим условиям:

а) функции y(x) непрерывно дифференцируемые на некотором конечном отрезке, внутренними точками которого являются значения x0 x1, которые заранее не заданы,

б) значения x0 , y0 = y(x0) и x1, y1 = y(x1), определяющие концы допустимых кривых, удовлетворяют граничным условиям

ψ(x0, y0) = 0, φ(x1 , y1) = 0,

где ψ(x, y), φ(x, y) заданные непрерывно дифференцируемые функции. На множестве M задан функционал

x1

J ( y(x)) = òF(x, y(x), y′(x))dx,

x0

где функция F( x, y, y′) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.

Среди допустимых кривых y(x), принадлежащих множеству M, требуется найти кривую y*(x), на которой функционал достигает экстремума

x1

J (y* (x)) = extr òF(x, y(x), y′(x))dx. (1)

y(x) M x0

В такой постановке задачи экстремум функционала ищется в классе гладких кривых, концы которых скользят по двум заданным линиям. Можно выделить частные случаи общей постановки задачи: 1) концы допустимых кривых скользят по двум заданным вертикальным прямым, описываемым уравнениями x = x0, x = x1, 2) концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым, описываемым уравнениями y = ψ(x), y = φ(x).

В поставленной задаче наряду с поиском кривой y*(x) производится выбор значений x0*, x1* , то есть ищется тройка (y*(x), x0*,x1*). Функционал

достигает на тройке (y*(x), x0*,x1*) минимума, если J((y(x), x0,x1) ≥ J((y*(x), x0*,x1*) в ε-окрестности.

В силу наличия граничных условий вариации δy(x1) δx1, δy(x0), δx0 связаны соотношениями

Fy′ x=x1* δy(x1 ) + (F − y′Fy′ ) x=x1* δx1 = 0,

Fy′ x=x*0 δy(x0 ) + (F − y′Fy′ ) x=x0* δx0 = 0,

которые называются условиями трансверсальности.

Если на функции y*(x), удовлетворяющей граничным условиям:

ψ(x0, y0) = 0, φ(x1 , y1) = 0,

функционал достигает экстремума, то она удовлетворяет уравнению Эйлера и условиям трансверсальности.

Для решения задачи (1) надо выполнить следующие действия.

1. Записать уравнение Эйлера и найти общее решение этого уравнения

y= y(x,C1,C2).

2.Записать условия трансверсальности в зависимости от вида

граничных условий.

3. Из условий трансверсальности и граничных условий определить C1, C2, x0*, x1* и получить уравнение экстремали y*(x).

Пример 1. Найти кривую, на которой функционал

J (y(x)) = ò2 (2xy + yy′ + y′2 )dx

0

может достигать экстремума, если ее левый конец фиксирован в точке А(0,0), а правый лежит на прямой x = x1 = 2.

Составим уравнение Эйлера

Fy − dxd Fy′ = y′′ − x = 0.

Найдем общее решение дифференциального уравнения

y′(x) = x22 + C1 , y(x) = x63 + C1x + C2 .

Запишем условия трансверсальности на правом конце и граничные условия на левом конце

Из этих условий определим константы C1 и C2 и запишем экстремаль

Пример 2. Найти кривую на которой функционал

1

J(y(x))= ò(y'2 + y)dx

0

может достичь экстремума, если правый ее конец фиксирован в точке В(1,0), а левый лежит на прямой х=0.

Составим уравнение Эйлера:

F = y'2 + y , Fy=1, Fy' = 2y' , dxd Fy' = 2y'' , Fy − dxd Fy' = 1− 2y'' = 0

Найдем общее решение уравнения Эйлера

y’’=½, y’=½x+C1, y=¼x2+C1x+C2.

Запишем условие трансверсальности на левом конце и граничное условие на правом конце

Из этих условий определим константы C1 и C2. y’(0)=C1=0

y(1)=¼+C1+C2=0 C1=0, C2=-¼, y*(x)=¼(x2-1).

x1

Пример 3. Найти кривую, на который функционал J(y(x))= ò y'3 dx

0

может достигать экстремума, если её левый конец фиксирован в точке А(0,0), а правый находится на прямой y(x1)=1-x1.

Так как подынтегральная функция не зависти от x и y, то уравнение Эйлера имеет общее решение y(x)=C1x+C2.

Запишем условие трансверсальности

Пример 4. Найти кривую, на которой функционал J(y(x))= ò(y'2 +1)2 dx

x0

может достичь экстремума, если ее левый конец лежит на кривой: y(x)= ψ(x)=x2+2,

а правый конец – на кривой y(x)=φ(x)=x.

Так как подынтегральная функция не зависит явно от x и y , то уравнение Эйлера имеет общее решение y(x)=C1x+C2.

Запишем условия трансверсальности и граничные условия

3. Вариационные задачи поиска условного экстремума

3.1. Задачи на условный экстремум с конечными связями

Рассмотрим множество M допустимых функций y1(x), y2(x),…,yn(x), непрерывно дифференцируемых на отрезке [ x0, x1 ], удовлетворяющих

граничным условиям yi(x0) = yi0, yi(x1) = yi1, i = 1,2,…,n и конечным связям

φj(x, y1(x), y2(x),…,yn(x)) = 0, j = 1,2,…,m,

где функции φj(x, y1(x), y2(x),…,yn(x)) непрерывно дифференцируемы по всем переменным.

На множестве M задан функционал

x1

J (y1 (x), y2 (x),...yn (x)) = òF(x, y1 (x),..., yn (x), y1′(x),..., y′n (x))dx ,

x0

где подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.

Среди допустимых функций требуется найти функции y1* (x), y2* (x),..., yn* (x) ,

на которых функционал достигает экстремума.

Поставленная задача относится к задачам поиска условного экстремума, так как кроме граничных условий на искомые функции наложены дополнительные условия.

Искомые экстремали в этом случае удовлетворяют системе уравнений Эйлера, Lyi − dxd Lyi′ = 0, i =1,2,...n , составленной для функционала

x1

J ( y1 , y2 ,..., yn ) = òL(x, y1 ,..., yn , y1′,..., yn′ ,λ1 (x),...,λm (x))dx

x0

где

m

L(x, y1 ,..., yn , y1′,..., y′n ,λ1 (x),...,λm (x)) = F(x, y1 ,..., yn , y1′,..., y′n ) + åλj (x)ϕ j (x, y1 ,..., yn ) .

j=1

Функция L(x,y1,y2,…,yn,y1′,…,yn′,λ1(x),…,λm(x)) называется функцией Лагранжа, а λj(x) множителями Лагранжа.

Для того чтобы применить необходимые условия экстремума в поставленной задаче надо выполнить следующие действия.

1.Составить функцию Лагранжа.

2.Записать систему уравнений Эйлера для функции Лагранжа и условия связи

φj(x, y1(x), y2(x),…,yn(x)) = 0, j = 1,2,…,m.

3.Найти общее решение системы уравнений Эйлера.

4.Определить постоянные C1,…,C2n из граничных условий, решая

систему

yi(x0, C1,…, C2n ) = yi0 , i = 1,2,…,n, yi(x1, C1,…, C2n ) = yi0, i = 1,2,…,n,

ивыражения для множителей Лагранжа λj(x), j = 1,2,…,m.

Врезультате получить экстремали y1* (x), y2* (x),..., yn* (x) , на которых может

достигаться экстремум функционала.

Пример 1. Найти экстремаль функционала

удовлетворяющую уравнению связи y1 – y2 – cosx = 0. Cоставим функцию Лагранжа

Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи

y1 − y2 − 2cos x = 0.

Найдем общее решение системы и определим произвольные постоянные из граничных условий