Методы оптимизации семинары

Исследующий поиск с уменьшением шага x7 = (0, 0) f(x7) = 0

Наименьшее значение функции достигается а точке (0, 0) с точностью ε

= 0,1.

Глава 4. Вариационное исчисление

1. Постановка задачи

На практике существуют задачи оптимизации, в которых не удается описать качество выбранного решения с помощью целевой функции. В этих задачах критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо так, чтобы критерий принял минимальное или максимальное значение.

Вариационными задачами называются задачи о поиске экстремума функционалов, то есть величин, численное значение которых определяется выбором одной или нескольких функций.

Переменная J(y(x)) называется функционалом, зависящим от функции y(x), если каждой кривой из заданного класса функций M соответствует вполне определенное действительное значение J.

1

Пример 1. Найти значение функционала J ( y(x)) = ò y(x)dx на следующих

0

кривых y1(x) = x, y2(x) = x2, y3(x) = - (x – 1)2 +1.

Найдем значения функционала, соответствующие приведенным

функциям J(y1(x) = ½, J(y2(x) = 1/3, J(y3(x) = 2/3.

В данном примере функционал имеет простой смысл – площадь под кривой y(x). Каждой кривой поставлено в соответствие число, равное площади. Очевидно, можно поставить задачу о нахождении такой кривой, площадь под которой была бы минимальна (максимальна). В рассмотренном примере такой кривой является y3(x).

Приведем основные понятия, которые будут использоваться в этой

главе.

Функции, на которых сравниваются значения функционалов, называются допустимыми функциями.

Вариацией δy(x) аргумента y(x) функционала J(y(x)) называется разность допустимых функций функционала δy(x) = y1(x) – y(x).

Приращением ∆J функционала называется разность:

∆J = ∆J(δy) = J(y +δy) – J(y).

Главную часть приращения функционала, линейную относительно вариации аргумента, называют вариацией функционала и обозначают δJ.

Функционал J(y(x)), определенный на классе M кривых y(x), достигает

на кривой y*(x) глобального минимума (максимума), если

J(y*(x)) ≤ J(y(x)) (J(y*(x)) ≥ J(y(x)))

для любой кривой y(x) принадлежащей M.

Теорема 1.(Необходимые условия экстремума). Если функционал J(y(x)), имеющий вариацию, достигает минимума или максимума на кривой y*(x), где y*(x) есть внутренняя точка области определения функционала, то при y(x) = y*(x) первая вариация функционала равна нулю δJ = 0.

Найти вариацию функционала

π

Ответ: δJ= ò2 (−2y − 2y'' )δydx

0

2. Вариационные задачи поиска безусловного экстремума

2.1. Функционалы, зависящие от одной функции

На множестве M задан функционал

x1

J ( y(x)) = òF(x, y(x), y′(x))dx,

x0

где подынтегральная функция F(x,y,y′) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.

Среди допустимых кривых y(x), принадлежащих множеству M, требуется найти кривую y*(x), на которой функционал достигает экстремума, то есть

x1

J ( y* (x)) = extr òF(x, y(x), y′(x))dx. (1)

y( x) M x0

Так как на кривые y(x), образующие множество M , не наложено дополнительных условий, кроме граничных, то поставленная задача называется задачей поиска безусловного экстремума.

Стратегия поиска решения задачи (1) состоит в определении первой вариации δJ функционала J(y(x)) и приравнивании ее к нулю согласно теореме о необходимом условии экстремума функционала. В результате получаются соотношения, позволяющие найти кривые, “подозрительные” на наличие экстремума функционала. С помощью анализа второй вариации функционала выводятся достаточные условия экстремума, позволяющие сделать вывод о достижении минимума или максимума.

Теорема 2. Если на кривой y*(x), удовлетворяющей граничным условиям y*(x0) = y0 , y*(x1) = y1, достигается экстремум функционала в задаче (1), то она удовлетворяет уравнению Эйлера

Fy − dxd Fy′ = 0.

В развернутой форме уравнение Эйлера имеет вид y′′Fy′y′ + y′Fyy′ + Fxy′ − Fy = 0.

Уравнение Эйлера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции y(x). Общее решение этого уравнения содержит две произвольные постоянные C1 и C2, которые должны определиться из граничных условий.

Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. Только на удовлетворяющих граничным условиям экстремалях может реализовываться экстремум.

Итак, для того чтобы применить необходимые условия экстремума в задаче (1) надо выполнить следующие действия.

1.Найти Fy , Fy′ , dxd Fy′ и записать уравнение Эйлера.

2.Найти общее решение уравнения Эйлера y = y(x,C1,C2).

3.Определить постоянные C1 и C2 из граничных условий, решая

систему

y(x0, C1, C2 ) = y0 ,

y(x1, C1, C2 ) = y1.

В результате получить экстремаль y*(x), на которой может достигаться экстремум функционала.

Пример 1. Найти экстремаль функционала

1

J (y(x)) = ò(y2 + y′2 )dx,

0

удовлетворяющую, граничным условиям y(0) = 0, y(1) = 1.

будет иметь вид y′′ - y = 0. Найдем общее решение этого уравнения, определим константы C1 и C2 и получим экстремаль y*(x).

y(x) = C1eλ1x + C2 eλ2x = C1ex + C2e− x ,

Пример 2. Найти экстремаль функционала

J (y(x)) = ò0 (12y − y′2 )dx ,

−1

удовлетворяющую граничным условиям y(-1) = 1, y(0) = 0.

Эйлера будет имеет вид y′′ = -6x. Найдем общее решение этого уравнения,

определим константы C1 и C2 и получим экстремаль y*(x). y′ = -3x2 + C1, y = -x3 + C1x + C2,

y(-1) = 1 – C1 + C2 = 1,

y(0) = C2 = 0, y*(x) = - x3.

π

Пример 3. Найти экстремаль функционала J(y(x))= ò2 ( y'2 − y2 )dx

0

Удовлетворяющую граничным условиям y(0)=1, y( π2 )=0.

Составим уравнение Эйлера:

Найдем общее решение уравнения Эйлера, определим константы C1 и C2 y '' + y = 0 , однородное уравнение:

Найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения, определим константы

y(x)=C1ex+C2e-x+ 2x ex, y(0)=C1+C2=0, y(1)=C1e+C2e-1+ 2e =0

Найти экстремали функционалов

1

1. J(y(x))= ò y'2 dx , y(0)=0, y(1)=1. (отв. y*(x)=x )

0

2. J(y(x))= ò1 (xy' − y'2 )dx, y(0)=1, y(1)=1/4. (отв. y*(x)=x2/4-x+1 )

0

3. J(y(x))= ò2 (x2 y'2 +12y2 )dx , y(1)=1, y(2)=8. (отв. y*(x)=x3 )

1

4. J(y(x))= ò8 (x − 4y)2 dx, y(4)=1, y(8)=2. (отв. y*(x)=x/4 )

4

4

5. J(y(x))= ò(xy'4 − 2yy'3 )dx , y(2)=1, y(4)=5. (отв. y*(x)=2x-3 )

2

6. J(y(x))= ò2 (xy' 3 − 3yy' 2 )dx , y(0)=4, y(2)=6. (отв. y*(x)=x+4 )

0

7. J(y(x))= ò1 (y'2 + 3yy' + 24x2 y)dx , y(0)=1, y(1)=0. (отв. y*(x)=x4-2x+1 )

0

8. J(y(x))= ò1 (y'2 + y' +1)dx , y(0)=1, y(1)=2. (отв. y*(x)=x+1 )

0

9. J(y(x))= òe (xy'2 − 2y' )dx , y(1)=1, y(e)=2. (отв. y*(x)=ln(x)+1 )

2.2. Функционалы, зависящие от нескольких функций

Рассмотрим множество M допустимых функций y1(x), y2(x),…,yn(x), непрерывно дифференцируемых на отрезке [ x0, x1 ], удовлетворяющих

граничным условиям yi(x0) = yi0, yi(x1) = yi1. На множестве M задан функционал

x1

J (y1 (x), y2 (x),...yn (x)) = òF(x, y1 (x),..., yn (x), y1′(x),..., y′n (x))dx ,

x0

где подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.

Среди допустимых функций требуется найти функции y1* (x), y2* (x),..., yn* (x) , на которых функционал достигает экстремума.

Искомые экстремали являются решением системы дифференциальных уравнений второго порядка, называемой системой Эйлера

Эта система уравнений относительно искомых функций играет в поставленной задаче ту же роль, что и уравнение Эйлера для одной неизвестной функции y(x).

Итак, для того чтобы применить необходимые условия экстремума в поставленной задаче надо выполнить следующие действия.

Имеем: С1 =С2 =С3 =0, С4 = 1. Записываем экстремали: y1*(x) = sinx, y2*(x) = -sinx.

Пример 3. Найти экстремали функционалов

J(y1(x),y2(x))= πò(y1'2 − 2y12 + 2y1 y2 − y2'2 )dx

0

Удовлетворяющие граничным условиям y1(0)=y2(0)=0, y1(π)=y2(π)=1.

переменной y1, y1(4) + 2y1'' + y1 = 0 .

Общее решение полученного однородного уравнения записывается в

виде:

y1(x)=C1·cos(x)+C2·sin(x)+x(C3·cos(x)+C4·sin(x))

В силу граничных условий C1=0, C3= - π1 тогда y2(x)=C2·sin(x)+C4·(2cos(x)+x·sin(x))+ π1 (2·sin(x)-x·cos(x))

Постоянные С2 и С4 находим, используя граничные условия для y2(x) , то есть C4=0, C2 –произвольно.

Запишем экстремали

y1* (x) = C2 sin(x) − (πx )cos(x) , y2* (x) = C2 sin( x) + π1 (2sin( x) − x cos(x)) .

Найти экстремали функционалов, зависящих от нескольких функций.

1. J(y1,y2)= ò3 1+ y1'2 + y2'2 dx , y1(0)=1, y2(0)=-2, y1(3)=7, y2(3)=1

0

Отв. ìy* (x) = 2x +1.

í y1* (x) = x - 2 î 2