Лекция Системы счисления
.docЛекция 7 Арифметика в системах счисления с основанием n (2 часа)
План лекции
Позиционные системы счисления.
Двоичная арифметика.
Выполнение арифметических операций с числами с фиксированной и плавающей запятой.
Система счисления – совокупность способов и средств записи чисел. Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее места в числе. (Римская: I–1; V–5; X–10; L-50; C–100; D–500; M–1000.) В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее места в числе. (Арабская)
Алфавит системы счисления – совокупность символов, используемых в данной системе счисления.
Основание системы счисления – количество цифр, используемых в данной системе счисления.
Разряд – номер позиции в числе. Нумеруются справа налево, начиная с нуля.
Вес разряда – число, равное основанию системы счисления в степени номера разряда. В вычислительной технике используются позиционные системы счисления – двоичная (BIN) в качестве основной, десятичная (DEC) и шестнадцатеричная (HEX) в качестве вспомогательных, ранее использовалась восьмеричная (OCT).
Сложение двоичных чисел.
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10 (1 переносится в старший разряд).
Вычитание двоичных чисел.
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
10 - 1 = 1(происходит заимствование в старшем разряде) .
Умножение двоичных чисел.
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1
Примеры:
10100110 ; |
2 ) 101001 - 11010
|
3)10110 * 101=1101110. |
+ 101100
1111 ;
2.1.8 Сложение и вычитание в системах счисления с основанием n
Примеры:
|
|
Лекция 8 Перевод из систем счисления n в систему счисления с основанием p (2 часа)
План лекции
Методы перевода чисел.
Форматы представления чисел с плавающей запятой.
Коды: прямой, обратный, дополнительный, модифицированный.
Перевод чисел из системы счисления с основанием n в десятичную систему счисления
Нужно найти сумму произведений содержимого разряда на вес этого разряда в системе счисления с основанием n.
Примеры:
1) 100111(2) --> (10) 150403121110 1*20+1*21+1*22+0*23+0*24+1*25 = 1+2+4+32 = 39(10) ;
2) 256(8) --> (10) 225160 6*80+5*81+2*82 = 6+40+128 = 174(10) ;
3) A5E(16) --> (10) A251E0 E*160+5*161+A*162 = 14*160+5*161+10*162=14+80+2560=2654(10) .
Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием n
Нужно последовательно делить данное число на n до получения числа, меньшего n. Затем записать остатки в обратном порядке. Это будет искомое число.
Примеры:
1)52(10) --> (2)
-
52
2
52
26
2
0
26
13
2
0
12
6
2
1
6
3
2
0
2
1
1
Записываем с нижней цифры: 52(10) = 110100(2)
2) 93(10) --> (8)
-
93
8
88
11
8
5
8
1
3
Записываем с нижней цифры: 93(10) = 135(8)
247(10) --> (16)
-
247
16
88
15
7
Записываем с нижней цифры: 247(10) = F7(16).
Перевод дробных чисел из системы счисления с основанием n в десятичную систему счисления
Выполняется по аналогичному правилу для целых чисел, только номера разрядов - отрицательные.
Примеры:
1) 0,101(2) --> (10)
0,1-10-21-3
1*2-1+0*2-2+1*2-3= 0.5+0+0.125 = 0.625(10) ;
2) 0,14(8) --> (10)
0,1-14-2
1*8-1+4*8-2=0,1875(10); 3) 0,А8(16) --> (10)
0,A-18-2
A*16-1+8*16-2=0.65625(10).
Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием n.
Нужно последовательно умножать дробь на n, при этом перемножаются только дробные части. Дробь записывается в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.
Примеры:
1) 0,375(10) --> (2)
-
0
375
2
0
75
2
1
5
2
1
0
Записываем с верхнего разряда под чертой: 0.375 (10) = 0.011(2)
2) 0,1875(10) --> (8)
-
0
0.1875
8
1
5
2
1
0
Записываем с верхнего разряда под чертой: 0.1875 (10) = 0.11(8)
3) 0,65625(10) --> (16)
-
0
65625
2
10
5
2
1
0
Записываем с верхнего разряда под чертой: 0. 65625 (10) = 0.A1(16)
Для перевода неправильных дробей нужно отдельно перевести целую часть и дробную.
Примеры:
1) 10,01(2) --> (10)
1100,0-11-2
1*21+0*20+0*2-1+1*2-2=2+0,25=2,25;
2) 6,472(10) --> (2)
6:2=3 0
3:2=1 1
1
6(10) =110(2);
0 |
472 |
|
2 |
0 |
944 |
|
2 |
1 |
888 |
|
2 |
1 |
776 |
|
2 |
1 |
552 |
0,472(10) =0,0111(2)
6,472(10)= 110,0111(2).
Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления
Нужно разбить число на тройки (четверки) цифр, в случае необходимости следует дополнить целую и дробную части числа нулями (целую слева, дробную справа). Затем заменить полученные группы цифр соответствующими им восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами.
Примеры:
1) 10011011101,1101(2) --> (8)
010011011101,110100(2)
= 2335,64(8);
2) 10011011001,11001(2) --> (16)
010011011001,11001000(2) = 6B9,A8(16).;
Перевод чисел из восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления в двоичную систему счисления
Нужно заменить каждую цифру числа соответствующими им тройками (четверками) двоичных цифр.
Примеры:
1) 2351,74(8) --> (2)
2(8) -->010(2), 3(8) -->011(2), 5(8) -->101(2), 1(8) -->001(2), 7(8) -->111(2), 4(8) -->100(2)
2351,74(8) -->10011101001,1111 (2) ; 2) 5F07,4A(16) --> (2)
5(16) -->0101(2), F(16) -->1111(2), 0(16) -->0000(2), 7(16) -->0111(2), 4(16) -->0100(2), A(16) -->1100(2)
5F07,4A(16) -->101111100000111,010011 (2);