Раздел 4. Логическое следование

4.1 Логическое следование

Определение 1. Формула B называется логическим следствием формул A₁, A₂, …, A_n, если при любых значениях, входящих в них, элементарных высказываний формула B принимает значение истинно всякий раз, когда формулы A₁, A₂, …, A_n принимают значение истинно. Обозначается A₁, A₂, …, A_n ╞ B

Из определения логического следования вытекает:

1. Тавтология логически следует из любой формулы.

2. Из противоречия логически следует любая формула.

Теорема 1. Из A логически следует B тогда и только тогда, когда тавтологией является AB.

Теорема 2. A₁, A₂,…, A_n╞ B тогда и только тогда, когда является тавтологией A₁&A₂& …& A_n B.

Теорема 3. Из формул A₁, A₂,…, A_n , B логически следует C тогда и только тогда, когда из формул A₁, A₂, …, A_n логически следует BC.

Следствие 1. Из A и B логически следует C тогда и только тогда, когда тавтологией является A(BC).

Следствие 2. Из формул A₁, A₂, …, A_n логически следует B тогда и только тогда, когда тавтологией является A₁(A₂ … (A_nB)…).

Отношение логического следования играет в математике большую роль.

Если из AB, то A называется достаточным условием для B, а B – необходимым условием для A.

Если вместе с AB из BA, то A называется необходимым и достаточным условием для B, а B – необходимым и достаточным условием для A.

2. Теоремы. Необходимые и достаточные условия

Теорема – это предложение, истинность которого доказывается на основе аксиом или ранее доказанных теорем. Теоремы часто формулируются в виде импликаций (следования). Импликативная структура наиболее удобна для выделения условия и заключения теоремы (того, что дано, и того, что необходимо доказать). Если импликация А => В выражает некоторую теорему, то основание импликации А выражает условие, а следствие В – заключение теоремы. Условие или заключение в свою очередь может не быть элементарным высказыванием, а иметь определенную логическую структуру, чаще всего конъюнктивную(и, обозначается &) или дизъюнктивную (или, обозначается V). Рассмотрим примеры:

1. Теорема “Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб” имеет структуру А V В => C, где А – “диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны”; В – “(диагонали параллелограмма) делят его углы пополам”; С – “этот параллелограмм - ромб”.

2. Теорема о средней линии трапеции имеет структуру: А => В & С, где А – “четырехугольник – трапеция”; В – “его средняя линия параллельна основаниям”; С – “(его средняя линия) равна полусумме оснований”.

Часто в формулировках теорем используется выражение “необходимо и достаточно” (признак). В логике это выражение соответствует эквиваленции, которая, как известно, представима в виде конъюнкции двух импликаций. Одна из этих импликаций выражает теорему, доказывающую необходимость признака, другая выражает теорему, доказывающуюдостаточность признака. Например, признак перпендикулярности двух плоскостей:

“Для того чтобы две плоскости были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы одна из них проходила через прямую, перпендикулярную к другой”, может быть сформулирован и так: “Две плоскости перпендикулярны, ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой”:

А <=> В или А => B & B =>A.

Умозаключение – это мысль, в ходе которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение.

При этом исходные суждения называются посылками, а полученное суждение – заключением или следствием. Аристотель приводил такой пример умозаключения: “Все люди смертны.” и “Сократ – человек.” - посылки. “Сократ смертен” – заключение. Переход от посылок к заключению происходит по правилом вывода и законам логики.

ПРАВИЛО 1: Если посылки умозаключения истинны, то истинно и заключение.

ПРАВИЛО 2: Если умозаключение справедливо во всех случаях, то оно справедливо и в каждом частном случае. (Это правило ДЕДУКЦИИ – переход от общего к частному)

Приведите пример дедуктивного вывода. С именем какого литературного героя связано понятие дедукции?

ПРАВИЛО 3: Если умозаключение справедливо в некоторых частных случаях, то оно справедливо во всех случаях. (Это правило ИНДУКЦИИ – переход от частного к общему.)

Вопросы для контроля:

1. Отношение логического следования формул алгебры высказываний и его свойства.

2. Обратная и противоположная теоремы.

3. Необходимые и достаточные условия.