1.3.Классификация формул

Формулы алгебры высказываний подразделяются на следующие типы: выполнимые, тавтологии, опровержимые и тождественно ложные (противоречия).

Подстановка в формулу вместо переменных каких-либо их значений называется конкретизацией формулы.

Формула называется выполнимой, если некоторая ее конкретизация является истинным высказыванием. То есть формула выполнима, если существуют такие конкретные высказыванияА, В, …, С, что .

Формула называется тождественно истинной или тавтологией, если любая ее конкретизация является истинным высказыванием.

Формула называется опровержимой, если некоторая ее конкретизация является ложным высказыванием.

Формула называется тождественно ложной или противоречием, если любая ее конкретизация является ложным высказыванием.

Для того чтобы определить, к какому типу относится формула, достаточно составить для нее таблицу истинности. Так, первая формула из 11 примера является тавтологией (она при любых наборах значений переменных принимает истинное значение), а вторую формулу можно назвать как выполнимой, так и опровержимой (так как она при разных конкретизациях принимает как истинные, так и ложные значения).

1.4. Значение тавтологий

Основное значение тавтологий состоит в том, что некоторые из них представляют правильные способы умозаключения, то есть такие способы, которые от истинных посылок всегда приводят к истинным выводам. Именно такие рассуждения углубляют наши знания и обогащают их истинными сведениями. Например, любая тавтология вида соответствует некоторой общей схеме логического умозаключения.

Пример 12: Схема логического умозаключения, описываемого тавтологией , часто используется в математических доказательствах. Она состоит в следующем. Допустим, что требуется доказать истинность некоторого утвержденияХ. Предполагаем, что истинно его отрицание . Затем доказываем, что существует некоторое утверждениеУ, для которого истинными являются оба утверждения: 1) и 2). Доказательства истинности этих импликаций зависят от содержания конкретных высказыванийХ и У и устанавливаются на основании методов и законов той математической теории, к которой они относятся.

Пусть истинность утверждений 1) и 2) установлена. Одновременный вывод двух взаимоисключающих предложений У и является противоречием. Тогда получаем, что наше предположение об истинности предложенияневерно и истинным является утверждениеХ.

Такой метод доказательства называется методом приведения противоположного утверждения к абсурду.

1.5.Основные правила получения тавтологий

Различают два основных правила образования тавтологий.

Правило 1. (правило заключения; правило отделения или правило modus ponens). Если формулы F и являются тавтологиями, то формулаН также является тавтологией.

Доказательство.

Докажем методом «от противного». Предположим, что существует набор значений переменных, при которых значение формулы Н = 0. Тогда, так как F = 1 (по условию формула F – тавтология), значение импликации _{. Получили противоречие с условием ( – тавтология и не может принимать значение 0). Следовательно, наше предположение неверно и формула Н является тавтологией.}

Правило 2. (правило подстановки). Если формула F, содержащая пропозициональную переменную Х, является тавтологией, то подстановка в формулу F всюду вместо переменной Х любой формулы Н снова приводит к тавтологии. Новая формула при этом обозначается .

Пример 13: (самостоятельно докажите, что она является тавтологией). Пусть. Тогдатакже является тавтологией (самостоятельно убедитесь в этом с помощью таблицы истинности).

Вопросы для контроля:

1. Высказывания. Высказывательные формы. Кванторы.

2. Логические связки. Логические операции.

3. Формулы логики высказываний.

4. Таблицы истинности.

5. Классификация формул логики высказываний.

6. Значение тавтологий.

7. Правила получения тавтологий.