Раздел 7. Логика предикатов.

7.1. Понятие предиката

Понятие ``предикат'' обобщает понятие ``высказывание''. Неформально говоря, предикат – это высказывание, в которое можно подставлять аргументы. Если аргумент один – то предикат выражает свойство аргумента, если больше – то отношение между аргументами.

Пример предикатов. Возьмём высказывания: ``Сократ - человек'', ``Платон - человек''. Оба эти высказывания выражают свойство ``быть человеком''. Таким образом, мы можем рассматривать предикат ``быть человеком'' и говорить, что он выполняется для Сократа и Платона.

Возьмём высказывание: ``расстояние от Иркутска до Москвы 5 тысяч километров''. Вместо него мы можем записать предикат ``расстояние'' (означающий, что первый и второй аргумент этого предиката находятся на расстоянии, равном третьему аргументу) для аргументов ``Иркутск'', ``Москва'' и ``5 тысяч километров''.

Пример рассуждения, не выразимого в логике высказываний. Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен.

Это рассуждение на языке логики высказываний можно записать тремя отдельными высказываниями. Однако никакой связи между ними установить не удастся. На языке логики предикатов эти предложения можно выразить с помощью двух предикатов: ``быть человеком'' и ``быть смертным''. Первое предложение устанавливает связь между этими предикатами.

7.2. Способа задания предиката

1) Высказывательной формой, т. е. следует задать высказывательную форму и множество объектов для переменных

(x) = <x - нечетное>, M_x = N

2) Табличный

Табличный способ применяется тогда, когда мало переменных (от 1 до 3), от которых зависит предикат и множество объектов, на котором задан данный предикат невелико.

N-местная высказывательная форма - высказывательная форма, зависящая от N переменных.

(x) = <x > 1>, M_x = R - одноместная высказывательная форма

(x, y, z) = x + y - z = 10, M_x = M_y = M_z = R - трехместная высказывательная форма

Если поменять порядок следования переменных в предикате, то это будет другой предикат. Если порядок следования не задан, то берётся по алфавиту, а потом по индексам (возрастание).

Если при каком-то значении переменной высказывательная форма, не имеющая знаков логических операций, теряет смысл, то её принято считать ложной.

(x) =  - истина при x < 0

(x) =  - ложь при x < 0

Упорядоченная n-ка - совокупность n не обязательно различных объектов вместе с заданным порядком их расположения.

{а; п; е; л; ь; с; и; н} = {с; п; а; н; и; е; л; ь} - для множества

(а; п; е; л; ь; с; и; н) ≠ (с; п; а; н; и; е; л; ь) - для упорядоченной n-ки

Декартово произведение (произведение n множеств) - такое множество упорядоченных n-ок, в которых на 1-ом месте объект из 1-ого множества, на 2-ом из 2-ого:

Пусть M_x = {a; b; c}, M_y = {1; 2}, тогда их декартово произведение равно:

M_x * M_y = {(a; 1); (b; 2); (a; 2); (c; 1); (c; 2); (b; 1)}

7.3. Множество истинности предикатов

 (<пэ с крышкой>) - множество истинности предикатов, множество тех значений x, при которых предикат принимает значение <истина>.

Если предикат зависит от двух переменных, то множеством истинности будет множество пар, в которых на 1-ом месте объект из M_x, на втором - из M_y.

Если (x, y) = <x > y>, M_x = {1; 2; 3), то  = {(3; 1); (3; 2); (2; 1)}

Если множество  совпадает с множеством, на котором задан данный предикат, то предикат называется тождественно истинным.

Если множество  пустое, то предикат называется тождественно ложным.

Равносильность высказывательных форм

Высказывательная форма  равносильна высказывательной форме , если переменные принимают значение из одного и того же множества и при любом наборе переменных высказывательные формы принимают одинаковые значения истинности.

Равносильные:

x + 1 = 0 <=> x = cos π

|x| > 3 <=> x² - 90 > 0

|x| < 0 <=>  sin x = 2

x = 1 <=> x + y - y = 1

Неравносильные:

x > 0 <≠> y > 0

x = x <≠>  = x