3.4 Получение скнф и сднф с помощью таблиц истинности
Известно, что для каждой формулы алгебры высказываний можно составить таблицу истинности. А можно ли по заданной таблице истинности найти соответствующую ей формулу? Оказывается, эта задача также всегда разрешима с помощью СДНФ или СКНФ.
Пусть, например, дана таблица истинности некоторой, неизвестной пока формулы F, содержащей переменные x, y, z:
|
x |
y |
z |
F(x,y,z) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
Выделим строки, в которых значение формулы равно 1. Это строки 1, 4 и 8. Для каждой из выделенных строк составим конъюнкцию переменных или их отрицаний так, чтобы наборам значений переменных в выделенных строках соответствовали истинные конъюнкции. Для этого переменные, под которыми в соответствующей строке стоит 0, взять со знаком отрицания, а переменные над 1 – без отрицания.
В результате получим конъюнкции:
Для
1 строки:
;
для 4 строки:
;
и для 8 строки:
.
Дизъюнкция этих конъюнкций и есть искомая формула:
.
Тот факт, что полученная формула действительно соответствует данной таблице истинности, легко проверить. Действительно: если формула F истинна, то и дизъюнкция истинна, так как истинна одна из составляющих ее конъюнкций. Если формула F ложна, то ложна и дизъюнкция, так как ложна каждая из составляющих ее конъюнкций.
Подобным образом можно составить формулу для всякой таблицы истинности, в последнем столбце которой есть хотя бы одна единица. Очевидно, что одну и ту же таблицу истинности имеет множество равносильных формул.
Формула, которая получается в результате применения описанного способа, является совершенной дизъюнктивной формой данной формулы и всех формул с теми же переменными, ей равносильных.
Так как для любой формулы можно составить таблицу истинности, и притом, единственную, то всякая формула, не являющаяся тождественно ложной, имеет СДНФ и притом единственную.
Формулу, соответствующую данной таблице истинности, можно составить и другим способом, а именно:
выделить те строки в таблице истинности, в которых искомая формула принимает значение 0;
для каждой из выделенных строк составить дизъюнкцию переменных или их отрицаний так, чтобы каждая переменная вошла в дизъюнкцию только один раз (со знаком отрицания или без него) и чтобы наборам значений переменных, записанным в этих строках, соответствовали ложные дизъюнкции;
составить из полученных дизъюнкций конъюнкцию.
В результате для данной таблицы получится формула:
,
которая является совершенной конъюнктивной
нормальной формой данной формулы и всех
равносильных ей формул.
Каждая формула, не являющаяся тавтологией, имеет СКНФ и притом единственную.
Таким образом, все множества равносильных формул с одними и теми же переменными, не являющимися тавтологиями или противоречиями, имеют по два «представителя» стандартного вида: СКНФ и СДНФ.
Множества тавтологий и противоречий имеют по одному «представителю» стандартного вида – соответственно СДНФ и СКНФ.
Вопросы для контроля:
Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальная форма.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма, ее характерные признаки.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма, ее характерные признаки.
Приведение к СДНФ или СКНФ с помощью равносильных преобразований.
Получение СДНФ и СКНФ по таблице истинности произвольной формулы.
Единственность СДНФ и СКНФ для формул алгебры высказываний.