2.2 Законы логики

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Перечислим наиболее важные из них:

1. –закон тождества.

2. –закон исключенного третьего

3. –закон противоречия

4. 

5. 

6. 

7. 

8. –закон двойного отрицания

9. –коммутативность конъюнкции

10. –коммутативность дизъюнкции

11. –ассоциативность конъюнкции

12. –ассоциативность дизъюнкции

13. –дистрибутивность конъюнкции

14. –дистрибутивность дизъюнкции

15. –законы идемпотентности

16. ; – законы поглощения

17. ; – законы де Моргана

18. –закон, выражающий импликацию через дизъюнкцию

19. –закон контрапозиции

20. –законы, выражающие эквиваленцию через другие логические операции

Законы логики используются для упрощения сложных формул и для доказательства тождественной истинности или ложности формул.

2.3. Упрощение формул.

Пример 1. Упростить формулу (АvВ) ^ (АvС) Решение.а) Раскроем скобки ( A vB ) ^ ( A v C )   ^ v ^C v B^A v B^C б) По закону идемпотентности A^A   , следовательно,  ^ v ^C v B^A v B^C   v ^C v B^A v B^C в) В высказываниях А и А· C вынесем за скобки А и используя свойство Аv1 1, получим АvА^Сv ^ v ^C  ( ^  v С v  ^  v ^С  v  ^  v ^С

Аналогично пункту в) вынесем за скобки высказывание А.  v^ v ^С  ^  v    ^С  v  ^С Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

Пример 2. Упростить выражение v  ^ 

Решение. v  ^      v    - поглощение

Пример 3. Упростить выражение  ^  v  ^ Решение.  ^  v  ^    v    - склеивание

Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к простым высказываниям. Пример 4. Преобразовать формулу так, чтобы не было отрицаний сложных высказываний. Примечание!!!! знак «+» - дизъюнкция; знак «∙»-конъюнкция.

Решение.1. Воспользуемся формулой де Моргана, получим: 2. Для выражения применим еще раз формулу де Моргана, получим:

Любую формулу можно тождественно преобразовать так, что в ней не будут использованы: - знаки логического сложения; - знаки логического умножения. - знаки отрицания и логического умножения; - знаки отрицания и логического сложения.

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения. Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

Пример 6. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического умножения. Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим:

Эквиваленция выражается через конъюнкцию и импликацию:

                  Из (3) и (1) получаем:               Y  X        (4) Эта равносильность выражает эквиваленцию через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Из равносильностей (3) и (2) получаем равносильность:    = (5), выражающую эквиваленцию через конъюнкцию и отрицание.

2.4. Равносильные преобразования. Упрощение формул

Если в равносильные формулы всюду вместо какой-нибудь переменной подставить одну и ту же формулу, то вновь полученные формулы также окажутся равносильными в соответствии с правилом подстановки. Таким способом из каждой равносильности можно получить сколько угодно новых равносильностей.

Пример 1: Если в законе де Моргана вместоХ подставить , а вместоY подставить , то получим новую равносильность. Справедливость полученной равносильности легко проверить с помощью таблицы истинности.

Если какую-нибудь формулу , являющуюся частью формулыF, заменить формулой , равносильной формуле, то полученная формула окажется равносильной формулеF.

Тогда для формулы из примера 2 можно провести следующие замены:

–закон двойного отрицания;

–закон де Моргана;

–закон двойного отрицания;

–закон ассоциативности;

–закон идемпотентности.

По свойству транзитивности отношения равносильности можем утверждать, что .

Замену одной формулы другой, ей равносильной, называют равносильным преобразованием формулы.

Под упрощением формулы, не содержащей знаков импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая не содержит отрицаний неэлементарных формул (в частности, двойных отрицаний) или содержит в совокупности меньшее число знаков конъюнкции и дизъюнкции, чем исходная.

Пример 2: Упростим формулу .

.

На первом шаге мы применили закон, преобразующий импликацию в дизъюнкцию. На втором шаге применили коммутативный закон. На третьем шаге применили закон идемпотентности. На четвертом – закон де Моргана. И на пятом – закон двойного отрицания.

Замечание 1. Если некоторая формула является тавтологией, то и всякая равносильная ей формула также является тавтологией.

Таким образом, равносильные преобразования можно также применять для доказательства тождественной истинности тех или иных формул. Для этого данную формулу нужно равносильными преобразованиями привести к одной из формул, которые являются тавтологиями.

Замечание 2. Некоторые тавтологии и равносильности объединены в пары (закон противоречия и закон альтернативы, коммутативный, ассоциативный законы и т.д.). В этих соответствиях проявляется так называемый принцип двойственности.

Две формулы, не содержащие знаков импликации и эквиваленции, называются двойственными, если каждую из них можно получить из другой заменой знаков соответственно на.

Принцип двойственности утверждает следующее:

Теорема 2.2: Если две формулы, не содержащие знаков импликации и эквиваленции, равносильны, то и двойственные им формулы также равносильны.

Вопросы для контроля:

1. Равносильные предложения. Равносильные формулы.

2. Свойства отношения равносильности.

3. Равносильные преобразования.

4. Упрощение формул.

5. Применение равносильных преобразований.

6. Принцип двойственности.