5)Какая точка называется критической?
6)Сформулируйте достаточный признак экстремума функции.
7)Приведите схему исследования функции на возрастание, убывание, экстремумы.
8)Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
9)Дайте определение выпуклого и вогнутого графиков функции.
10)Сформулируйте достаточные условия выпуклости и вогнутости графика.
11)Какая точка называется точкой перегиба?
12)Сформулируйте необходимое и достаточное условия перегиба.
13)Сформулируйте схему исследования функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
14)Дайте определение асимптоты плоской кривой.
15)Какие виды асимптот существуют?
16)Какой вид имеет уравнение вертикальной асимптоты и как его найти?
17)Какой вид имеет уравнение наклонной асимптоты?
18)Запишите формулы для нахождения наклонной асимптоты.
19)Сформулируйте общую схему исследования функции.
5.3. Практические задания
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
5.3.1. |
y = x3 −3x2 ; |
|
5.3.2. |
y = 2x3 −9x2 +12x − 4 ; |
|||||||||||||||||
5.3.3. |
y = |
x3 |
|
− x2 |
−3x ; |
5.3.4. |
y =3x4 − 4x3 ; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
( |
3 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.3.5. |
y = |
x2 |
−8 |
3 x2 ; |
5.3.6. |
|
( |
) |
3 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
y = |
|
x −1 |
x |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.3.7. |
y = 0,5 x2 − ln x ; |
5.3.8. |
y = ex − x −1; |
|
|||||||||||||||||
5.3.9. |
y =3xe2−x ; |
|
|
|
5.3.10. |
y = xex−x2 ; |
|
|
|||||||||||||
5.3.11. |
y = x − ln (1 + x); |
5.3.12. |
y = 2xln x ; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
5.3.13. |
y = |
|
2 ln2 x |
− ln3 x ; |
5.3.14. |
y = |
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
3 − x2 |
|
|
||||||||||||||||||
5.3.15. |
y = |
|
x2 + x +1 |
; |
5.3.16. |
y = |
|
x2 + 5 |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
x2 + |
1 |
|
|
x − 2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
5.3.17. |
y = x5 −5x4 + 5x3 +1, [−1,2]; |
5.3.18. |
y = x4 − 2x2 + 5, [−2, 2]; |
||||||||||||||||||||
5.3.19. |
y = x + 2 |
|
x , [0, 4]; |
5.3.20. |
y = ex+2 − e x , |
[−2, 0]; |
|||||||||||||||||
5.3.21. |
y =1 − x4 + 2x2 , |
[ |
0, 3 ; |
5.3.22. |
y |
= 3x |
+ 32−x |
[0, 2]; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
ln 3 |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.3.23. |
y = 4x5 −15x4 −3, |
[−1, 1]; |
5.3.24. |
y = x4 − 4x3 + 4x2 −1, [0, 3]; |
|||||||||||||||||||
Исследовать функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба: |
|||||||||||||||||||||||
5.3.25. |
y = x3 −5x2 + 3x −5; |
5.3.26. |
y = x4 − 6x2 + 2x −1; |
||||||||||||||||||||
5.3.27. |
y = x4 − 2x3 + 5x +1; |
5.3.28. |
y =1 − 3 x − 2 ; |
|
|||||||||||||||||||
5.3.29. |
y = ln (1 + x2 ); |
|
|
5.3.30. |
y = 4x2 −8 ex−4 . |
||||||||||||||||||
Найти асимптоты графиков функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5.3.31. |
y = |
|
x2 − x +1 |
; |
|
|
5.3.32. |
y = |
|
x3 |
+ x2 +1 |
; |
|||||||||||
|
|
x + |
2 |
|
|
|
|
|
x2 + 2x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.3.33. |
y = |
|
2x3 +1 |
; |
|
|
|
|
5.3.34. |
y = |
|
x |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 6 |
|
|
|
||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Провести полное исследование функций и построить их графики: |
|||||||||||||||||||||||
5.3.35. |
y = x3 −3x2 −9x ; |
|
|
5.3.36. |
y = x4 − 2x2 ; |
|
|||||||||||||||||
5.3.37. |
y = |
|
|
x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
5.3.38. |
y = |
|
x5 |
−8 |
|
; |
|
|
|
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.3.39. |
y = |
|
x3 + 4 |
; |
|
|
|
|
|
5.3.40. |
y = |
|
|
2 |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x |
|
|||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
28