Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский кооперативный институт (филиал РУК)

Предмет:

Макроэкономическое планирование и прогнозирование

Файл:

МатАн_ЛинАлг_080100 / ПланыПЗ_МА_080100.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

496.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

4.3.8. lim 1 − cos x .

x→0 x2

4.3.10. lim ex − e−x .

x→0 x2

4.3.12. lim e7 x − ex . x→0 sin 2x

4.3.9.	lim	ex −1				.
				x
	x→0
4.3.11.	lim		ex − cos x					.
				x + sin x
	x→0
4.3.13.	lim				1 + x3				.
							1)
	x→−1 sin (x +

Тема 5. Исследование функций на экстремумы и интервалы монотонности

5.1. Типовые примеры Пример 5.1.1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

y =	4x − 6	.

	(x −1)2

Решение.

1.Область определения: Dy = (−∞,1) (1, ∞).

2.Вычислим производную

′

4(x −1)2 −(4x − 6) 2(x −1)

4(2 − x)

(x −1)4

= (x −1)3

и найдем критические точки:

y′ = 0 4(2 − x) = 0 x = 2 – критическая точка.

3. Исследуем функцию.

ТАБЛИЦА 5.1

(−∞,1)

(1, 2)

(2, ∞)

′

−

∞

−

f (x)

точка разрыва

max

На

интервалах (−∞

,1),

(2, ∞) функция убывает, на интервале (1,2) функ-

ция возрастает. Точка x = 2 – точка максимума функции.

4. max f (x) = f (2) = 2 .

Пример 5.1.2. Найти		наибольшее и наименьшее значения функции
y = x5 −5x4 + 5x3 + 3 на отрезке [−1, 2] .
Решение.
1.	y′ =5x4 − 20x3 +15x2 = 5x2 (x2 − 4x + 3) . Найдем критические точки.
	y′ = 0 5x2 (x2 − 4x + 3) = 0 x1 = 0, x2 =1, x3 = 3.
Точку x3 =3 не рассматриваем, так как 3 [−1, 2].
2.	Находим: f (0) =3,	f (1) = 4, f (−1) = −8, f (2) = −5 .
3.	Сравнивая полученные значения функции, делаем вывод:

наибольшее значение M = 4 = f (1) ,

наименьшее значение m = −8 = f (−1) .

Пример 5.1.3. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки переги-

ба графика функции y = x4 − 6x2 + 5.

Решение

1. Dy = (−∞, ∞) .

2. y′ = 4x3 −12x, y′′=12x2 −12

y′′ = 0 12 (x2 −1) = 0 x1 = −1, x2 =1 –

критические на перегиб точки. 3. Заполним таблицу.

ТАБЛИЦА 5.2

(−∞, −1)

–1

(–1, 1)

(1, ∞)

′′

−

f (x)

вогнут.

т. перег.

выпукл.

т. перег.

вогнут.

График вогнутый на (−∞, −1) , (1, ∞) .

График выпуклый на (–1, 1).

f (−1) = 0, f (1) = 0,

M1(−1,0), M2 (1,0) – точки перегиба.

Пример 5.1.4. Провести общее исследование функции y =

−

Решение

1. Dy = (−∞,1) (1, ∞) , x =1 – точка бесконечного разрыва функции, так

как

lim

=∞,

x −1

x→1

x =1 – уравнение вертикальной асимптоты.

y = k x + b ,

k = lim

f (x)

= lim

=1,

−1

x→ ∞

x→ ∞ x

( f (x) = k x)= lim

b = lim

− x

= lim

=1,

x→ ∞

x −1

x→ ∞ x −1

y = x +1 – уравнение наклонной асимптоты.

f (−x) =

(−x)2

= −

≠ ± f (x) .

−x −

x +1

Функция свойствами четности, нечетности не обладает, не периодичная.

f (x) = 0

= 0 x = 0

x −1

ТАБЛИЦА 5.3

(−∞, 0)

(0,1)

(1, ∞)

f (x)

−

∞

′

2x (x −1) − x2

x2 − 2x

f (x) =

(x −1)2

′

− 2x

= 0 x1 = 0,

x2 = 2 – критические точки.

(x) = 0

ТАБЛИЦА 5.4

(−∞, 0)

(0,1)

(1,2)

( 2, ∞)

′

−

∞

−

f (x)

max

разр.

min

max

f (x) = f

(0) = 0 ,

min f (x) =

f (2) = 4 .

′′

(2x − 2) (x −1)2 − (x2 − 2x)

(x −1)

(x) =

(x −1)4

2 (x −1) ((x −1) (x −1) − (x2 − 2x))

2 (x2 − 2x +1 − x2

+ 2x)

′′

−1)4

(x −1)3

(x −

1)3

точек перегиба нет,

(x) ≠ 0

ТАБЛИЦА 5.5

(1, ∞)

(−∞,1)

′′

−

∞

(x)

вогнутый

f (x)

выпуклый

разрыв

7. Построим

график функции (Рис

. 5.1.1).

1	2	x
		x

РИС. 5.1.1

5.2.Контрольные вопросы

1)Дайте определения возрастающей и убывающей на интервале функций, постройте их графики.

2)Сформулируйте достаточные признаки возрастания и убывания функции.

3)Дайте определения точек максимума и минимума функции.

4)Сформулируйте необходимое условие экстремума. Будет ли необходимое условие достаточным?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МатАн_ЛинАлг_080100

#
26.02.2016494.69 Кб44Лекции_Математика_2_Дифференциальное исчисление.pdf
#
26.02.2016573.11 Кб43Лекции_Математика_3_Интегральное исчисление.pdf
#
26.02.20161.52 Mб55МА_экз_1курс_экономика_заочн.doc
#
26.02.2016855.38 Кб38Математика_Словарь терминов.pdf
#
26.02.2016630.28 Кб40ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf
#
26.02.2016496.78 Кб50ПланыПЗ_МА_080100.pdf