Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский кооперативный институт (филиал РУК)

Предмет:

Макроэкономическое планирование и прогнозирование

Файл:

МатАн_ЛинАлг_080100 / ПланыПЗ_МА_080100.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

496.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2.3.47. lim cos5x

2.3.48. lim tg 2x

x→0 sin 2x

x→0 tg 5x

5 2x

2.3.50.

2 3x

2.3.49. lim 3 +

lim 1

x→∞

2.3.51. lim (1 + 4x)x

2.3.52.

lim 1

x→0

x→∞

7 4 x

2.3.54.

−

2.3.53. lim

1 −

lim 1

x→0

x→∞

2 3x

2.3.55. lim (1 −3x)x

2.3.56.

−

lim 1

x→0

x→∞

2.3.57. lim (1 + tg x)3 ctg x

2.3.58. lim (1 −sin x)2 ctg x

x→0

Тема 3. Предел и непрерывность функции

3.1. Типовые примеры

Пример 3.1.1. Исследовать непрерывность функции в точке x0 = 0 :

а) y = x2 ;	б) y =	1 ;	в)	x +1,	при x ≥ 0	;	г) y = ln x .
а) y = x2 ;	б) y =	1 ;	в)	y =	при x < 0	;	г) y = ln x .
		x		x −1,	при x < 0
Решение. Построим графики данных функций (рис. 1.1.1)
а)	y			б)	y
				б)

	y = x2					1
					y = x
	0		x		0		x

в)	y		г) y
в)			г) y	y =ln x
				y =ln x
1	y	x +1, x ≥0
	y	=
	0	x −1, x <0	0	1	x
		x	0	1
		x
	-1

РИС. 3.1.1

а) в точке x0 = 0 функция y = x2 является непрерывной, так как

lim x2 = 0 = f (0);

x→0

б) в точке x		= 0 функция y = 1 не является непрерывной, так как f (0)
0				x
				x
не существует;
в) функция		x +1,	при	x ≥ 0	;	не является непрерывной, так как не
в) функция	y =		при	x < 0	;	не является непрерывной, так как не
		x −1,	при	x < 0

существует lim f (x);

x→0

г) функция y = ln x не является непрерывной в точке x0 = 0 , так как она не определена в этой точке.

Пример 3.1.2. Исследовать на непрерывность функцию

	2	,	при	x ≤ 0
x
f (x)=	+1,		при	x < 0
2x

в точке x0 = 0 .

Решение. Найдем предел слева, предел справа и значение функции в точке x0 = 0 :

f (x − 0)= lim			f (x )= lim x2 = 0 ,
0	x→x0	−0	x→0−0

			14

f (x0	+ 0)= lim f (x)=	lim 2x +1 =1
	x→x0 +0	x→0+0
	f (0)= x2	= 0 .
	x = 0

Так как нарушено условие непрерывности функции f (x0 − 0)≠ f (x0 + 0),

то функция не является непрерывной в точке x0 = 0 .

Пример 3.1.3. Доказать непрерывность функции y = f (x) в точке x0 = 0

или установить характер разрыва функции в этой точке:

sin x

если

x ≠ 0

а)

y =

;

; б) y =

если x = 0

если

x < 0

в)

; г) y = 2 x .

y =

если

ex ,

x ≥ 0

Решение.

а) Функция

y =

sin x

в точке x = 0 не определена, но

lim sin x =1 (первый замечательный предел), следовательно, точка x0 = 0 – точ-

x→0 x

ка устранимого разрыва функции.

б) По сравнению со случаем а), функция определена в точке x0 = 0 и ее значение f (0)=1 совпадает с пределом функции в этой точке, значит, функция

непрерывна в точке x0 = 0 .

в) Найдем пределы слева и справа в точке x0 = 0

f (0 − 0)= 0, f (0 + 0)= lim ex =1, f (0)=1.

x→0+0

Так как эти пределы не равны, то x0 = 0 – скачок функции.

г) Функция y = 2 x не определена при x = 0 , а

1			1
f (0 − 0)= lim 2		= 2−∞ = 0,	f (0 + 0)= lim 2		= 2∞ = ∞,
	x			x
x→0−0			x→0+0

следовательно x0 = 0 – точка бесконечного разрыва функции.

3.2.Контрольные вопросы

1)Сформулируйте определение непрерывной в точке функции.

2)Сформулируйте второе определение непрерывной в точке функции.

3)Что называется пределом слева и справа функции f (x) в точке x0 ?

4)Сформулируйте необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

5)Что называется точкой разрыва функции?

6)Сформулируйте свойства непрерывных функций.

7)Сформулируйте свойства функции, непрерывной на отрезке.

3.3.Практические задания

3.3.1. Найти область определения функций f (x):

а) f (x) = 3x −1		б)	f (x)=		1
				x2 +1
в) f (x)=	2x	г)	f (x)=		1	+ lg (5x +10)
	x2 −3x + 2				−1
				x
При каких значениях переменной x эта функция непрерывна?

3.3.2. Найти левосторонний и правосторонний пределы функции:

x,	x ≤1
f (x)=	, x >1
(x −1)2	, x >1

в точке x0 =1. Сделать вывод о непрерывности функции в этой заданной точке.

3.3.3. Исследовать на непрерывность функцию

sin x,		x < π
			2
f (x)=
	1,	x ≥	π
			2

3.3.4. По графику функции y = f (x)	определить интервалы непрерывности и

найти точки разрыва, дать их классификацию:

	f (x2 )			f (x2 )
				f (x2 )
x1	0	x	x1	0	x2	x3	x
x1	0	x	x
		2	x

РИС. 3.3.1

РИС. 3.3.2

3.3.5. Найти область определения функции

f (x), область непрерывности и ис-

следовать характер точек разрыва:

а) f (x)=

б)

f (x)=

x2 −9

в)

f (x)=

x + 3

x2 − x − 2

x −3

г) f

(

)

x2 +8x +12

д)

f (x)=

x − 2

x2 −3x + 2

x + 2

3.3.6. Найти точки разрыва функции

x (−∞, 0)

f (x)=

x [0, ∞)

x + 2,

иисследовать их характер. Построить график функции.

3.3.7.Исследовать на непрерывность функции:

		2	−1, x (−∞, 2)			x
x			−1, x (−∞, 2)		f (x)=	x
а) f (x)=	2x −3, x [2, ∞)			б)
						x

Построить графики этих функций.
3.3.8. Дана функция
x2			− 4	при	x ≠ 2

		− 2
f (x)= x		− 2
	A			при	x = 2
	A			при	x = 2

Как следует выбрать значение функции A = f (2), чтобы дополненная таким образом функция f (x) была непрерывна при x = 2 ?

3.3.9. Найти область определения и область непрерывности функции:

а) f (x)= lg (1 − x)+ 2 + x	б) f (x)=	sin x
		x2 − 2x +1
	17

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МатАн_ЛинАлг_080100

#
26.02.2016494.69 Кб51Лекции_Математика_2_Дифференциальное исчисление.pdf
#
26.02.2016573.11 Кб48Лекции_Математика_3_Интегральное исчисление.pdf
#
26.02.20161.52 Mб59МА_экз_1курс_экономика_заочн.doc
#
26.02.2016855.38 Кб43Математика_Словарь терминов.pdf
#
26.02.2016630.28 Кб47ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf
#
26.02.2016496.78 Кб56ПланыПЗ_МА_080100.pdf