Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский кооперативный институт (филиал РУК)

Предмет:

Макроэкономическое планирование и прогнозирование

Файл:

МатАн_ЛинАлг_080100 / ПланыПЗ_МА_080100.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

497 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Тема 2. Теория пределов

2.1. Типовые примеры

Пример 2.1.1. Для последовательности 1, 14 , 19 , ... , n12 , ... требуется:

найти u2 , u5 , u10 ;

найти такой

номер

N , что при n > N

выполняется

< 0,01,

< 0,0001,

<10−6 ;

3) построить график последовательности;

4) записать lim un .

n→∞

Решение.

1) u				2		=		1	= 1 , u =					1	=	1	, u =		1	=	1	;
1) u						=			= 1 , u =						=		, u =			=		;
						22			4			5		52		25	10	102		100
						22			4		1			52		25		102		100
2)		u			n		< 0,01						<10−2		n >10 N =10,


											n2							1
											n2
	un		<			0,0001				1			<10−4		n >102 N2 =100,
										1
										n2
										n2

un <10−6 n12 <10−6 n >103 N3 =1000 . 3)

0
	1		2		3		4		5		n

				РИС. 2.1.1
4) lim u	n	= lim	1	= 0 последовательность б.м.

n→∞		n→∞ n2

Пример 2.1.2. Последовательность задана рекуррентным соотношением an+1 =3an − 4 , a1 =3 . Найти четвертый член этой последовательности a4 .

Решение. Для нахождения a4 необходимо последовательно вычислить

все предыдущие члены последовательности.

a2 =3a1 − 4 =3 3 − 4 = 5, a3 = 3a2 − 4 = 3 5 − 4 =11, a4

Пример 2.1.3. Вычислить пределы:

а) lim

; б)

lim

x +1

x→1

x→∞ x

Решение.

а) lim

= 2 1 +

= 3

;

x +1

x→1

б) lim

= 0.

∞

x→∞ x

Пример 2.1.4. Вычислить пределы:

а) lim

− 2x −3

;

б) lim

x + 7 −3

x2 −

x −

x→3

x→2

Решение.

а) убедимся,

что имеем неопределенность

= 3a3 − 4 = 3 11 − 4 = 29.

и разложим квадратные

трехчлены в числителе и знаменателе на множители

	x − 2x − 3		0			(	x − 3	)(	)		x +1		4		2
lim	2		=		= lim					= lim		=		=		;

		x2 − 9		0		(x −3)(x + 3)							6		3
x→3		x2 − 9		0	x→3	(x −3)(x + 3)				x→3 x + 3			6		3

б) в данном случае также имеем неопределенность 00 .

Чтобы раскрыть ее, умножим числитель и знаменатель дроби на выраже-

ние ( x + 7 + 3) сопряженное числителю
lim	x + 7 − 3		0	= lim	(	x + 7 − 3)(	x + 7 + 3)
		=				(x − 2)( x + 7 + 3)		=
	x − 2
x→2			0	x→2

= lim	(x + 7)− 9	= lim
	(x − 2)( x + 7 + 3)
x→2		x→2

Пример 2.1.5. Вычислить пределы:

1	=	1
x + 7 + 3		6

а)	lim	2x3	+1	; б) lim	1 − x2
							.

	x→∞ 4x3 + x2 −3			x→∞ x3		+ 2x
Решение.

2x3

∞

2x3

2 +

lim

= lim

4x3

x→∞ 4x3 + x2

− 3

∞

x→∞

а)

−

4 +

−

2 + 0

1 ;

+ 0 − 0

1 − x2

∞

−

б) lim

= lim

= 0 .

x→∞ x3 + 2x

∞

x→∞ x3

Пример 2.1.6. Используя первый замечательный предел найти пределы:

а) lim tg 7x		, б) lim sin 3x	, в) lim	1 − cos x .
x→0	x	x→0 sin8x	x→0	x2

Решение.

Преобразовывая выражение, стоящее под знаком предела к одному из видов замечательного предела, получим:

а)

lim

tg 7x

= lim

tg 7x 7

= 7

lim

tg 7x

= 7;

x→0

б)

lim

sin 3x

= lim

sin 3x 8x 3x

3x sin8x 8x

x→0 sin8x

x→0

= lim sin 3x lim

lim

3x =1 1

= 3

;

x→0

x→0 sin8x

x→0

2 x

1 − cos x

2 sin

sin

в)

lim

= lim

x→0

1 lim

sin

= 1

1 ;

lim

1 1 =

2 x→0

x→0

2 2

Пример 2.1.7. Используя второй замечательный предел найти пределы: 9

			5 3x		2
а)		+	5 3x	, б) lim (1 −3x)x .
а)	lim 1	+		, б) lim (1 −3x)x .
	x→∞		x	x→0

Решение.

Преобразовывая выражение, стоящее под знаком предела к одному из видов замечательного предела, получим:

5 3x

∞

lim 1

= (1

)= lim 1

= lim

= e

;

x→∞

(

−

−6

3x)

= lim (1 −3x)−

б)

lim (1 −3x)

= lim (1 − 3x)

= e−6 .

−3x

x→0

2.2.Контрольные вопросы

1)Что называется последовательностью?

2)Дать определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.

3)Какая последовательность называется сходящейся, что называется пределом последовательности?

4)Дать определение предела функции на бесконечности.

5)Дать определение окрестности точки.

6)Дать определение предела функции в точке.

7)Сформулировать свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

8)Запишите первый замечательный предел и его разновидности. Какую неопределенность раскрывает этот предел?

9)Запишите второй замечательный предел и его вторую форму. Какую неопределенность раскрывает этот предел?

10)Как определяется число e? Чему оно равно? Как называется и обозначается логарифм по основанию e?

2.3.Практические задания

2.3.1. Найти первые пять членов последовательности:

а) un =	n −1	; б) un =(−1)n +1;	в) un =	2n .
	n2 +1
				n

2.3.2. Найти общий член un последовательности:

а) 12 , 23 , 34 , 54 , ....

б)

1 ,

2 ,

, ....

в) 1,

4, ....

2.3.3. Дана последовательность:

1 ,

, ....

Заполнить таблицу, используя определение предела последовательности

0,1

0,01

0,001

...

10−5

...

Найти предел

последовательности.

2.3.4. Дана

последовательность

un =

n =1, 2, 3, ...

Найти такой

номер

n +1

N = N (ε),

что при

n > N

выполняется

неравенство

un −1

< ε,

для

ε = 0,1;

0,01;

10−4. Найти предел последовательности.

Найти пределы последовательностей при n →∞.

2.3.5.

n + 3 −

n − 3 ;

2.3.6.

(3n + 2)100

;

(3n −1)98 (n + 2)2

2.3.7.

;

2.3.8.

(−1)n n

;

n +1

2.3.9.

n2 + 3n − n

2.3.10.

(2n + 2)50

(2n −1)48 (n + 2)2

Найти пределы функций.

−3x

2.3.11. lim

+ 5

2.3.12. lim

x − 4

x→2 x2 −3

x→0

2.3.13. lim

x2 + 2x + 3

1 − x

2.3.14.

lim

x→0

log2 (x +8)

x→11 − x

2.3.15. lim

x2 − 2x +1

2.3.16. lim

x2 + 3

x − 2

x→1 x2 + 3x − 2

x→2

2.3.17. lim

−5x + 4

2.3.18. lim

x − 2

x − 4

x→4

x→2 x2 − x − 2

2.3.19. lim

x2 −1

x→−1 x2 + 3x + 2

2.3.21. lim

x2 −3x + 2

x→1 x2 − 4x + 3

2.3.23. lim

x3 −8

x→2 x2 − 2x

2.3.25. lim

x + 3 −3

x − 6

x→6

2.3.27. lim

4 + x − 2

x→0

2.3.29. lim

x3 + x

x→∞ x4 − 3x2 +1

2.3.31. lim

3x4 + 2x2

6x4 −1

x→∞

2.3.33. lim

x −1

x→∞ x +1

2.3.35. lim

3 − x

2x +1

x→∞

2.3.37. lim

x2 + 3x + 7

x→∞ x4 −3x2 + 4

2.3.39. lim

3x − x3

x→∞

2.3.41. lim sin 5x

x→0

2.3.43. lim sin 3x

x→0 sin 7x

−

sin x

2.3.45. lim

x − π

x→6


2.3.20. lim				x2 − 2x

	x→2 x2 − 4x + 4
2.3.22. lim		x −8x +12
			x2 + x − 6
	x→2
2.3.24.	lim			x + 3

	x→−3 2x2 + x −15
2.3.26.	lim			x + 3

	x→−3 x + 4 −1
2.3.28. lim			x2 − 6x − 7
				x + 2 −3
	x→7
2.3.30. lim				x4 −5x

	x→∞ x2 −3x +1
2.3.32. lim			2x2 +1
				x2 −1
	x→∞
2.3.34. lim			2x −3
	x→∞ x2 −1
2.3.36. lim			1
			1 − x2
	x→∞
2.3.38. lim			2x5 + x
			7x2 + 2
	x→∞
2.3.40. lim			3x2 − 2
				x2 +1
	x→∞
2.3.42. lim tg 4x
	x→0			x
2.3.44. lim sin ax
	x→0 sin bx
2.3.46. lim sin 3x
	x→0		tg 2x

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МатАн_ЛинАлг_080100

#
26.02.2016495 Кб64Лекции_Математика_2_Дифференциальное исчисление.pdf
#
26.02.2016573 Кб62Лекции_Математика_3_Интегральное исчисление.pdf
#
26.02.20162 Мб73МА_экз_1курс_экономика_заочн.doc
#
26.02.2016855 Кб59Математика_Словарь терминов.pdf
#
26.02.2016630 Кб60ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf
#
26.02.2016497 Кб71ПланыПЗ_МА_080100.pdf