§4. Корреляционно-регрессионный анализ.

На практике часто бывает важно знать, существует ли зависимость между некоторыми наблюдаемыми величинами, насколько тесно они связаны между собой, можно ли по значению одной величины сделать какие-либо выводы о предполагаемом значении другой величины и т.д. Для решения задач такого рода и применяется корреляционно-регрессионный анализ.

Пусть - выборка из двумерной генеральной совокупности. Предварительное представление о зависимости между случайными величинамииможно получить изобразив в прямоугольной системе координат на плоскости точки. Такое графическое представление двумерной выборки называютдиаграммой рассеивания (корреляционным полем).

Количественной характеристикой степени линейной зависимости между величинами иявляетсякоэффициент корреляции . Состоятельной оценкой коэффициента корреляции служит статистика, где,,,,.

Если , то все выборочные точки,лежат на одной прямой. Привыборочные данные только имеют тенденцию сосредотачиваться около прямых:

, ,

называемых (теоретическими) прямыми регрессии наина, соответственно. Здесь,. Первое уравнение даёт наилучший в среднем квадратичном прогноз ожидаемых значенийпо наблюдениям, второе – прогноз значенийпо наблюдениям.

Прямые ,называютсяэмпирическими прямыми регрессии наина, соответственно. Здесь ,,,,- найденные по выборке,, значения статистик,,,,, являющихся состоятельными оценками параметров,,,,двумерной генеральной совокупности. Если выборка представлена корреляционной таблицей,,,, где,- или отдельные различные выборочные значенияиили середины интервалов группировки выборочных значенийи,- частота с которой в выборке встречается пара, то значения статистик вычисляются по формулам:

, ,,,

,,

В задачах 13.80-13.81 для указанных выборок вычислить коэффициенты корреляции и построить диаграммы рассеивания.

13.80 13.81

В задачах 13.82-13.83 для указанных выборок вычислить коэффициенты корреляции, определить и нанести на диаграмму рассеивания прямые регрессии и.

13.82

13.83

, ,,,

В задачах 13.84-13.85 вычислить коэффициент корреляции и найти уравнения прямых регрессии ипо данным в следующих корреляционных таблицах:

13.84

13.85

В случае выбора из двумерной нормально распределённой генеральной совокупности равенство влечёт независимость случайных величини. Проверка параметрической гипотезыоснована на статистике, которая имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы.

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента

корреляции .

Гипотеза	Статистика критерия	Критическое множество
		, где

Здесь: -критическая точка распределения Стьюдента (приложение 6.4),.- объём выборки.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Здесь: - корень уравнения (приложение.6.2); -выборочный коэффициент корреляции;- объём выборки. Значения гиперболического тангенса вычисляются по таблице приложения 6.6.

В задачах 13.86-13.89 построить доверительные интервалы для коэффициентов корреляции двумерной нормально распределённой генеральной совокупности по следующим данным: