Глава 13. Математическая статистика.

§1. Выборка, способы её записи, графическое представление и числовые характеристики.

Выборкой объёма из генеральной совокупностиназывается совокупностьнаблюдаемых значений случайной величины, соответствующихнезависимым повторениям случайного эксперимента с которым связана величина. В математической статистике генеральную совокупность отождествляют со случайной величиной, совокупность всех возможных значений которой и называют генеральной совокупностью.

Выборка может быть записана в виде вариационного и статистического (дискретного или интервального) рядов. Выборку, записанную в виде статистического ряда, называют группированной.

Вариационным рядом выборки называется такой способ её записи, при котором элементы выборки упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде последовательности, где. Разностьназываетсяразмахом выборки. Всюду в дальнейшем выборочные характеристики будем, как правило, обозначать символом с «» наверху.

Различные значения ,(), называютсявариантами. Число повторений вариантыв выборке называется еёчастотой, а отношение называется еёотносительной частотой. Очевидно, что ,.

Дискретным статистическим рядом называется упорядоченная в порядке возрастания значений вариант последовательность пар,. Обычно его записывают в виде таблицы, первая стока которой содержит варианты, а вторая их частоты.

Полигоном частот называется ломаная с вершинами в точках , построенных в прямоугольной системе координат.

Эмпирической функцией распределения называется скалярная функция , определённая для всехформулой:, где суммирование ведётся по всем значениям индекса, для которых. Очевидно, чтопри,при.

На промежутке представляет собой неубывающую кусочно-постоянную функцию, испытывающую в точкахскачки на величину.

Интервальным статистическим рядом называется последовательность пар ,, где- непересекающиеся интервалы как правило равной длины, объединением которых является отрезок, содержащий все выборочные значения;- частота интервала, равная числу элементов выборки, значения которых попали в данный интервал. Обычно его записывают в виде таблицы, первая строка которой содержит границы интервалов или их середины, а вторая – частоты интервалов.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах группировки так, что площадь каждого прямоугольника равна частоте ,. Если длины всех интервалов одинаковы и равны, то высоты прямоугольников равны.

Кумулятой (полигоном относительных накопленных частот) называется ломаная с вершинами в точках ,, где- накопленная относительная частота интервала, при этом первое звено ломаной соединяет с точкойначало первого интервала.

Для выборки, представленной интервальным статистическим рядом, эмпирическая функция распределения определяется соотношением ,, где суммирование ведётся по всем значениям индекса, для которых,- середина интервала, а её графиком является кусочно-постоянная функция со скачками в точках.

В задачах 13.1-13.4 указанную выборку записать в виде вариационного и дискретного статистического рядов, определить её объём и размах.

13.1 3, 8, 1, 3, 6, 5, 2, 2, 7.

13.2 7, 5, 7, 7, 7, 2, 5, 7, 7, 5.

13.3 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.

13.4 7, 8, 6, 6, 7, 8, 9, 7, 5, 7, 9, 8, 6, 6, 8, 8.

В задачах 13.5-13.8 выборку записать в виде интервального статистического ряда (границы первого интервала указываются), определить её объём и размах.

13.5 17, 15, 14, 10, 13, 18, 22, 20, 17, 12,

13, 21, 12, 8, 14, 11, 19, 18, 15, 19.

Первый интервал: .

13.6 19, 31, 13, 8, 32, 11, 29, 27, 27, 40, 17, 32, 9

8, 31, 12, 26, 19, 23, 32, 41, 13, 24, 44, 25.

Первый интервал: .

13.7 17, 19, 23, 18, 21, 15, 16, 13, 20, 18, 15, 20, 14, 20, 16,

14, 20, 19, 15, 19, 16, 19, 15, 22, 21, 12, 10, 21, 18, 14,

14, 17, 16, 13, 19, 18, 20, 24, 16, 20, 19, 17, 18, 18, 21,

17, 19, 17, 13, 17, 11, 18, 19, 19, 17.

Первый интервал: .

13.8 38, 60, 41, 51, 33, 42, 45, 21, 53, 60, 68, 52, 47, 46, 49,

49, 14, 57, 54, 59, 77, 47, 28, 48, 58, 32, 42, 58, 61, 30,

61, 35, 47, 72, 41, 45, 44, 55, 30, 40, 67, 65, 39, 48, 43,

60, 54, 42, 59, 50.

Первый интервал: .

В задачах 13.9-13.12 для выборок, представленных дискретными статистическими рядами построить: а) полигон частот; б) график эмпирической функции распределения.