2.2 Интервальные оценки. Необходимый объём выборки.

Если функция распределения генеральной совокупностиизвестна с точностью до параметра, то егоинтервальной оценкой или доверительным интервалом называется случайный интервал , который накрывает неизвестное значение параметрас заданной вероятностью, т.е.. Числоназываетсядоверительной вероятностью, а число -уровнем значимости. Обычно используются значения , равные,,.

Точность интервальной оценки характеризуется длиной доверительного интервала и зависит от объёмавыборки и доверительной вероятности. Очевидно, что, чем меньше длина доверительного интервала, тем точнее оценка. Доверительный интервал, симметричный относительно точечной оценки, определяется формулойи имеет вид, гдехарактеризует отклонение выборочного значения параметра от его истинного значения и называетсяпредельной ошибкой выборки. Доверительные интервалы часто строятся в предположении, что выборка получена из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение.

Доверительные интервалы для параметров инормально распределённой генеральной совокупности.

Параметр	Точечная оценка	Доверительный интервал
(неизвестна)		, где ,
(неизвестно)		, где , , .

Доверительный интервал для параметра биномиального распределения.

Параметр	Точечная оценка	Доверительный интервал
(,, )		, где

Здесь: - корень уравнения (приложение 6.2); -критическая точка распределения Стьюдента (приложение 6.4);,- критические точки распределения(приложение 6.3); - число элементов в выборке, обладающих данным свойством.

Необходимый объём выборки обеспечивающий заданное значение при оценивании параметровиопределяется, соответственно, соотношениями:и(- целое число) .

13.38 Предполагая, что распределение генеральных совокупностей является нормальным, найти 90%-ные доверительные интервалы для математического ожидания (среднего) и дисперсии следующих характеристик: а) ёмкость конденсатора, если ,,;б) время безотказной работы электролампы, если ,,;в) диаметр вала, если ,,;г) содержание углерода в ед. продукта, если ,,.

13.39 Измерения диаметров (в см) случайно отобранных из большой партии 250 валов дали следующие результаты:

	[7.8,8.0)	[8.0,8.2)	[8.2,8.4)	[8.4,8.6)	[8.6,8.8)	[8.8,9.0]
	5	20	80	95	40	10

Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего диаметра вала во всей партии.

13.40 Получены следующие данные о годовом товарообороте (в млн. руб.) 100 продовольственных магазинов города:

	[100,120)	[120,140)	[140,160)	[160,180)	[180,200]
	17	40	32	8	3

Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего товарооборота продовольственного магазина в городе.

13.41 Измерения твёрдости 16 образцов легированной стали (в условных единицах) дали следующие результаты:

13.1, 12.8, 11.9, 12.4, 13.5, 13.7, 12.0, 13.8,

10.6, 12.4, 13.5, 11.7, 13.9, 11.5, 12.5, 11.9.

В предположении, что выборка измерений получена из нормально распределённой генеральной совокупности, найти 95%-ные доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.

13.42 Результаты 10 измерений ёмкости конденсатора дали следующие отклонения от номинального значения (пкФ):

.

Найти 90%-ный доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратичного отклонения, предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение.

13.43 Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образом отобраны и проверены 100 штук. У 36 транзисторов коэффициент усиления оказался меньше 10. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли таких транзисторов во всей партии.

13.44 При осмотре 60 ящиков обнаружено 10 повреждённых. Найти 90%-ный доверительный интервал для доли повреждённых ящиков во всей партии.

13.45 Для оценки уровня безработицы в городе были отобраны случайным образом 100 человек рабочих специальностей. Из них 6 человек оказались безработными. Найти 90%-ный доверительный интервал для доли безработных рабочих в городе.

13.46 При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.

13.47 С автоматической линии, производящей подшипники, было отобрано 400 штук, причём 10 оказались бракованными. Найти 90%-ный доверительный интервал для вероятности появления бракованного подшипника. Сколько подшипников надо проверить, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что вероятностьпоявления бракованного подшипника отличается от относительной частоты его появления не более чем на 5%?

13.48 В 10000 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 4000 раз. Найти 95%-ный доверительный интервал для вероятности выигрыша. Сколько сеансов игры следует провести, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что вероятностьвыигрыша отличается от его относительной частотыне более чем на 1%?

13.49 По результатам социологического исследования при опросе 1500 респондентов рейтинг президента (т.е. процент опрошенных, одобряющих его деятельность) составил 70%. Найти границы, в которых с доверительной вероятностью заключён рейтинг президента (при опросе всех жителей страны). Сколько респондентов надо опросить, чтобы с вероятностьюгарантировать предельную ошибку, допускаемую при определении рейтинга в результате социологического исследования, не превышающую 1%?

13.50 Высота самолёта определяется с помощью высотомера, средняя квадратичная ошибка которого . Считая, что ошибки измерения высоты самолёта распределены по нормальному закону, определить, сколько надо иметь таких приборов на самолёте, чтобы с вероятностьюпредельная ошибка измерения средней высоты самолёта была не более.

13.51 Оценка величины сопротивления для большой партии однотипных резисторов, определённая по результатам измерений 100 случайно отобранных экземпляров, равна . Считая, что среднее квадратичное отклонение измерения известно:, найти вероятность того, что для резисторов всей партии величина сопротивления лежит в пределах. Сколько измерений нужно произвести, чтобы с вероятностьюутверждать, что для всей партии резисторов величина сопротивления лежит в пределах?