- •§2. Криволинейный интеграл второго рода и его приложения.
- •11.39 .
- •§4.Поверхностный интеграл второго рода и его приложения.
- •§5. Теория поля.
- •5.1Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению.
- •5.2 Векторное поле. Дивергенция. Ротор.
- •5.3 Специальные виды векторных полей.
- •5.4 Поток и циркуляция векторного поля.
- •11.108 ,.
- •11.109 ,.
- •11.110 ,.
- •11.111 ,.
, ,,,
, .
В задачах 11.1-11.6 вычислить криволинейные интегралы первого рода по указанной кривой :
11.1 ,где .
11.2 ,где .
11.3 ,где .
11.4 ,где .
11.5 ,где -отрезокс концамии.
11.6 ,где - граница треугольникас вершинами ,и.
11.7,где ,.
11.8,где,
.
11.9,где ,,
.
11.10,где ,,
,.
11.11 ,где - часть логарифмической спирали, находящаяся внутри круга.
11.12 ,где - часть спирали Архимеда, находящаяся внутри круга.
11.13 ,где - окружность.
11.14 ,где - половина лемнискаты Бернулли,.
11.15 Найти длину дуги кривой :
а) ,;
б) ,,;
в) ,,,; г).
11.16 Найти массу, распределённую по участку кривой ,, если плотностьв каждой точкекривой равна квадрату абсциссы этой точки.
11.17 Найти массу, распределённую по полуокружности , расположенной в верхней полуплоскости, если плотностьв каждой точкеполуокружности равна кубу ординаты этой точки.
11.18 Найти массу, распределённую по дуге кривой :,,,, плотность которой меняется по закону.
11.19 Найти координаты центра массы, распределённой по кривой с плотностью, если:
а) ;
б) ,,;
в) ,.
11.20 Найти моменты инерции однородной дуги плотности:
а) относительно оси;
б) ,относительно оси;
в) ,,относительно оси;
г)относительно оси
§2. Криволинейный интеграл второго рода и его приложения.
Если и- функции, определённые и непрерывные в точках гладкой плоской кривой, заданной уравнением(), токриволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по формуле . В случае параметрического задания кривой:,() имеет место формула.
Если ,и- функции, определённые и непрерывные в точках гладкой пространственной кривой:,,(), токриволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по формуле
.
Особенность криволинейного интеграла 2-го рода состоит в том, что он меняет свой знак на обратный при изменении направления пути интегрирования.
Работапеременной силы , точка приложения которой описывает кривую, выражается интегралом(механический смысл криволинейного интеграла 2-го рода).
Если - замкнутый простой (без точек самопересечения) кусочно-гладкий контур, ограничивающий область, пробегаемый так, что областьостаётся слева, и функцииинепрерывны вместе со своими частными производными первого порядкаив областии на её границе, то имеет местоформула Грина
.
Площадь плоской фигуры , ограниченной замкнутым простым кусочно-гладким контуром, пробегаемым так, что областьостаётся слева, равна.
Если в области существует функциятакая, что выражениеявляется её полным дифференциалом, т.е. в областивыполняется условие, то криволинейный интегралне зависит от пути интегрированияцеликом расположенногои имеет место равенство
,
где начальная,- конечная точка пути. Если- односвязная область (область, в которой любой замкнутый контур можно непрерывно стянуть в точку) и функции,,,непрерывны в, то для этого необходимо и достаточно, чтобы в областивыполнялось условие. В частности, если контур интегрированиязамкнут, то.
Если область такова, что в качестве контура интегрирования можно выбрать ломаную, соединяющую точкии, звенья которой параллельны осями, то функциюможно найти по формулеили, где- некоторая фиксированная точка области,-произвольная постоянная.
В задачах 11.21-11.24 вычислить криволинейные интегралы по кривой , пробегаемой в направлении возрастания её параметра:
11.21 ,где - дуга параболы,.
11.22 ,где - дуга параболы,.
11.23 ,где - кривая,.
11.24 ,где - кривая,.
11.25 Вычислить криволинейный интеграл по отрезку , ориентированному в направлении от точкик точке:
а) ,,;
б) ,,.
11.26 Вычислить криволинейный интеграл по кривой , пробегаемой от точкик точке:
а) , - дуга параболы, ,;
б) , - дуга параболы, ,.
В задачах 11.27-11.30 вычислить криволинейный интеграл по кривой, пробегаемой в направлении возрастания её параметра:
11.27,где -дуга окружности,,.
11.28,где - дуга циклоиды,,.
11.29,где - кривая,,,.
11.30,где - дуга винтовой линии,,,.
В задачах 11.31-11.32 вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.
11.31 , где - контур треугольникас вершинами,.
11.32 , - контур, составленный линиями,,.
В задачах 11.33-11.36, применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.
11.33 , где - эллипс.
11.34, где - окружность.
11.35 , где - контур, образованный синусоидойи отрезком осипри.
11.36 , где - граница треугольника
с вершинами ,и.
В задачах 11.37-11.38 убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой с началом в точкеи концом в точке.
11.37 , ,.
11.38 ,,.
В задачах 11.39-11.42 найти функцию по заданному полному дифференциалу этой функции: