3.2 Проверка гипотез о параметре биномиального распределения.

Гипотеза	Статистика критерия	Критическое множество
	, где (,)
	где (,, ,)

Здесь: - корень уравнения (приложение 6.2); - корень уравнения (приложение 6.2); ,- число элементов в выборках объёма,, соответственно, обладающих данным свойством.

13.61 Предполагается, что большая партия деталей содержит 15% брака. Для проверки из партии случайным образом отобрано 100 деталей, среди которых оказалось 10 бракованных. Считая, что число бракованных деталей в партии имеет биномиальное распределение, на уровне значимости проверить предположение о том, что в партии содержится 15% бракованных деталей.

13.62 Партия изделий принимается в том случае, если вероятность того, что изделие окажется соответствующим стандарту, составляет не менее . Среди случайно отобранных 200 изделий проверяемой партии оказалось 193 соответствующих стандарту. Можно ли на уровне значимости принять партию изделий?

13.63 Фирма рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показывает опыт, вероятность того, что организация, получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна . Фирма разослала 1000 каталогов новой улучшенной формы и получила 100 заказов. Выяснить на уровне значимости можно ли считать, что новая форма рекламы существенно лучше прежней?

13.64 Количество бракованных деталей в партии не должно превышать 5%. В результате контроля 100 деталей из этой партии обнаружено шесть бракованных. Можно ли на уровне значимости считать, что процент брака превосходит допустимый?

3.3 Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.

Критерии, используемые для проверки гипотезы о виде распределения случайной величины (генеральной совокупности)называюткритериями согласия (с основной гипотезой), при этом альтернатива , как правило, не формулируется, подразумевая под ней «всё остальное». Одним из наиболее широко применяемых на практике критериев согласия, является критерий согласия(«хи-квадрат»).

Критерий «хи-квадрат» в качестве меры расхождения эмпирического и теоретического законов распределения случайной величины использует значения статистики, где- объём выборки;-число непересекающихся множествна которые разбита область возможных значений случайной величины;-эмпирическая частота попаданияв;-вероятность попаданияв, вычисленная для теоретического закона распределения. Закон распределения статистикипринезависимо от вида закона распределения случайной величиныстремится к закону-распределения сстепенями свободы (-число параметров теоретического закона распределения, вычисляемых по выборке). Для его применения практически достаточно, чтобы.

Общая схема проверки непараметрической гипотезы , утверждающей, что случайная величинаимеет теоретический закон распределениясостоит в следующем.

1) Задают уровень значимости .

2) По выборке находят значения оценокнеизвестных параметров предполагаемого закона распределения.

3) Область возможных значений случайной величины разбивают нанепересекающихся множеств:интервалов, если- непрерывная величина илигрупп отдельных значений, если- дискретная величина и подсчитывают их частоты,. Очевидно, что.

4) Используя предполагаемый закон распределения вычисляют вероятности,- вероятности того, что наблюдаемое значениепринадлежит множеству. Очевидно, что.Замечание. Критерий «хи-квадрат» использует тот факт, что случайные величины ,, имеют распределения, близкие к нормальному. Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо, чтобы для всехвыполнялось условие. Если для некоторыхэто условие не выполняется, то их объединяют с соседними.

5) По заданным значениям иопределяют критическое множествокритерия «хи-квадрат»:,, где- критическая точка-распределения (приложение 6.3).Замечание. Если проводилось объединение , то- число множеств, оставшихся после их объединения.

6) По выборке вычисляют наблюдаемое значениестатистики критерия «хи-квадрат».

7) Принимают статистическое решение: если , то основная гипотезаотклоняется как не согласующаяся с данными выборки; если, топринимается, т.е. считается, что гипотезане противоречит данным выборки.

13.65 Опыт, состоящий в одновременном подбрасывании четырёх монет, повторили 100 раз. Эмпирическое распределение дискретной случайной величины - числа выпадений «гербов» - оказалось следующим:

Число «гербов»	0	1	2	3	4
Число подбрасываний	8	20	42	22	8

Используя критерий , на уровне значимостипроверить гипотезу о том, что случайная величинаимеет биномиальное распределение.(Указание. Принять вероятность выпадения «герба» ).

13.66 ОТК предприятия проверил 200 партий изделий по 5 изделий в каждой партии и получил следующее эмпирическое распределение дискретной случайной величины - числа нестандартных изделий:

Число нестандартных изделий в одной партии	0	1	2	3	4	5
Число партий	72	77	34	14	2	1

Используя критерий , на уровне значимостипроверить гипотезу о том, что случайная величинаимеет биномиальное распределение.(Указание. Принять в качестве значения оценки вероятности - вероятности того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным - относительную частотупоявления нестандартных изделий).

13.67 При испытании радиоэлектронной аппаратуры фиксировалось число отказов. Результаты 600 испытаний приводятся ниже:

Число отказов	0	1	2	3	4	5	6
Число испытаний	400	167	29	3	0	0	1

Используя критерий , проверить гипотезу о том, что число отказов имеет распределение Пуассона. Принять.

13.68 В цехе с 10 станками ежедневно регистрировалось число вышедших из строя станков. Всего было проведено 200 наблюдений, результаты которых приведены ниже:

Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число зарегистри-рованных случаев	41	62	45	22	16	8	4	2	0	0	0

Используя критерий , проверить гипотезу о том, что число выбывших из строя станков имеет распределение Пуассона. Принять.

13.69 В течение 10 часов регистрировали прибытие автомашин к АЗС и получили следующее эмпирическое распределение непрерывной случайной величины - времени прибытия автомашин к АЗС (в часах):

	[8, 9)	[9, 10)	[10, 11)	[11, 12)	[12, 13)
	12	40	22	16	28
	[13, 14)	[14, 15	[15, 16)	[16, 17)	[17, 18]
	6	11	33	18	14

Используя критерий , на уровне значимостипроверить гипотезу о том, что случайная величинаимеет равномерное распределение.

13.70 В результате взвешивания 800 стальных шариков получено следующее эмпирическое распределение непрерывной случайной величины - веса шариков (в граммах):

	[20.0,20.5)	[20.5,21.0)	[21.0,21.5)	[21.5,22.0)	[22.0,22.5)
	91	76	75	74	92
	[22.5,23.0)	[23.0,23.5)	[23.5,24.0)	[24.0,24.5)	[24.5,25.0]
	83	79	73	80	77

Используя критерий , на уровне значимостипроверить гипотезу о том, что случайная величинаимеет равномерное распределение.

13.71 В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено следующее эмпирическое распределение непрерывной случайной величины - времени работы элементов (в часах):

	[0,5)	[5,10)	[10,15)	[15,20)	[20,25)	[25,30]
	133	45	15	4	2	1

Используя критерий , на уровне значимостипроверить гипотезу о том, что случайная величинаимеет показательное распределение.

13.72 В результате испытания 450 электроламп получено следующее эмпирическое распределение непрерывной случайной величины - времени горения электроламп (в часах):

	[0,400)	[400,800)	[800,1200)	[1200,1600)
	121	95	76	56
	[1600,2000)	[2000,2400)	[2400,2800]
	45	36	21

Используя критерий , на уровне значимостипроверить гипотезу о том, что случайная величинаимеет показательное распределение.

В задачах 13.73-13.77 для приведённых группированных выборок, приняв 5%-ный уровень значимости, проверить, используя критерий , гипотезу о том, что они получены из нормально распределённой генеральной совокупности.

13.73 Результаты измерений величины контрольного размера 68 деталей, изготовленных на одном станке (мм):

	[2.9,3.9)	[3.9,4.9)	[4.9,5.9)	[5.9,6.9)	[6.9,7.9]
	5	15	23	19	6

13.74 Результаты измерений входного сопротивления 130 электронных ламп (Ом):

	[3.0,3.6)		[3.6,4.2)		[4.2,4.8)	[4.8,5.4)	[5.4,6.0)
	2		8		35	43	22
[6.0,6.6)		[6.6,7.2]
15		5

13.75 Данные о товарообороте 150 продовольственных магазинов города (млн. руб.):

	[24.5,27.5)		[27.5,30.5)		[30.5,33.5)		[33.5,36.5)		[36.5,39.5)
	1		4		13		23		22
[39.5,42.5)		[42.5,45.5)		[45.5,48.5)		[48.5,51.5)		[51.5,54.5]
29		29		16		11		2

13.76 Результаты наблюдений за среднесуточной температурой воздуха () в течение 300 суток:

	[,)		[, 0)		[0, 10)	[10, 20)	[20, 30)
	20		47		80	89	40
[30, 40)		[40, 50]
16		8

13.77 Результаты исследований прочности на сжатие 200 образцов бетона ():

	[190, 200)		[200, 210)		[210, 220)	[220, 230)
	10		26		56	64
[230,240)		[240, 250]
30		14

13.78 На экзамене по некоторому предмету студент отвечает только на один вопрос по одной из четырёх частей курса. Из 100 студентов 26 получили вопрос из первой, 32 – из второй, 17 – из третьей и 25 – из четвёртой части курса. Используя критерий , выяснить, можно ли считать, что студент, идущий на экзамен, с равной вероятностью получит вопрос по любой из четырёх частей курса? Принять.

13.79 Ниже приводятся данные о фактическом объёмах сбыта предприятием продукции (в условных единицах) в пяти районах города:

Район	1	2	3	4	5
Фактический объём сбыта	110	130	70	90	100

Используя критерий , выяснить, согласуются ли эти результаты с предположением о том, что сбыт продукции в этих районах должен быть одинаковым? Принять.