- •Глава 13. Математическая статистика.
- •§1. Выборка, способы её записи, графическое представление и числовые характеристики.
- •13.9 13.10
- •Основные числовые характеристики выборки.
- •§2. Статистические оценки параметров распределения.
- •2.1 Точечные оценки.
- •2.2 Интервальные оценки. Необходимый объём выборки.
- •Доверительные интервалы для параметров инормально распределённой генеральной совокупности.
- •Доверительный интервал для параметра биномиального распределения.
- •§3. Проверка статистических гипотез.
- •3.1 Проверка гипотез о параметрах нормально распределённой генеральной совокупности. Проверка гипотез о средних нормального распределения.
- •3.2 Проверка гипотез о параметре биномиального распределения.
- •3.3 Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.
- •§4. Корреляционно-регрессионный анализ.
- •13.80 13.81
- •13.86 13.87
- •13.88 13.89
- •13.90 13.91
- •13.92 13.93
- •13.96 13.97
§3. Проверка статистических гипотез.
Статистической гипотезой называют любое предположение относительно параметров или вида распределения генеральной совокупности (случайной величины). Гипотезы относительно неизвестного значения параметра распределения генеральной совокупности (случайной величины) называютсяпараметрическими и непараметрическими в иных случаях. Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет распределение , в противном случае она называетсясложной. Проверяемая гипотеза называется основной и обозначается . Наряду с гипотезойрассматривают одну из альтернативных гипотез, противоречащих основной. Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметрараспределениянекоторому заданному значению, т.е., то в качестве альтернативной гипотезы, как правило, рассматривается одна из следующих гипотез:,,. Выбор альтернативы определяется конкретной постановкой задачи.
Правило, по которому принимается решение принять или отклонить основную гипотезу , называетсякритериемпроверки гипотезы. Критерий задают с помощью критического множества , где-выборочное пространство (множество всех возможных значений случайной выборки ). Решение принимают на основе выборкинаблюдаемых значений случайной величины, используя для этого подходящую статистику, называемуюстатистикой критерия .При проверке параметрической гипотезы в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и при оценивании параметра.
Решение принимают следующим образом: 1) если выборка , то принимают основную гипотезу;2) если выборка , то основную гипотезуотклоняют и принимают альтернативную гипотезу.
При использовании любого критерия возможны ошибки двух видов:
1) отклонить верную основную гипотезу -ошибка первого рода;
2) принять неверную основную гипотезу - ошибка второго рода.
Вероятности совершения ошибок первого и второго рода обозначают и:,, где- вероятность событияпри условии, что справедлива гипотеза,. Вероятность совершения ошибки первого роданазывают такжеуровнем значимости критерия , а величину, равную вероятности отклонить основную гипотезу, когда она неверна, называютмощностью критерия. Уровень значимости определяет «размер» критического множества. Обычно используются значения, равные,,.
Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, т.е. если выборкапопадает в критическое множествос исключительно малой вероятностью, то естественно предположить, что утверждение, которое привело к этому маловероятному событию, не соответствует истине и отклонить его. Поступая так, мы будем отклонять в действительности верную основную гипотезукрайне редко – не более чем вслучаев. Поэтому за основную гипотезу естественно принять утверждение, отклонение которого, когда оно в действительности является верным, приводит к более тяжёлым последствиям, чем его принятие при справедливости альтернативы.
Общая схема проверки параметрической гипотезы состоит в следующем:1) формулируется альтернативная гипотеза ;2) задаётся уровень значимости ;3) выбирается статистика критерияпроверки гипотезы;4) определяется выборочное распределение статистики при условии, что гипотезаявляется верной;5) по заданным значениям иопределяется критическое множествокритерияв зависимости от формулировки альтернативной гипотезы;
6) по выборке вычисляется наблюдаемое значениестатистики критерия;7) принимается статистическое решение: если , то основная гипотезаотклоняется как не согласующаяся с данными выборки; если, топринимается, т.е. считается, что гипотезане противоречит данным выборки.