УМК Математика (в 4-х частях) 2 семестр (инженерно-технические направления)

Если функция f (x)

дифференцируема на интервале (a,b)

и f (x) 0

( f (x) 0 ) при всех

x (a,b) , то функция f (x) возрастает

(убывает)

на

(a,b) .

Точка x0 , принадлежащая области определения D функции

y f (x),

на-

зывается критической точкой функции, если в этой точке

f (x0 ) 0 или

f (x0 )

не существует. Критические точки функции y f (x)

разбивают её

область определения D на интервалы монотонности (интервалы возрастания

и убывания).

точкой минимума (максимума) функции

Точка

x0 D

называется

y f (x), если существует окрестность точки

x0 такая, что для всех точек

x x0

этой

окрестности

выполняется

неравенство

f (x) f (x0 )

( f (x) f (x0 ) ), а число f (x0 )

- минимумом (максимумом) функции. Точки

стью вниз.

Если

функция f (x) дважды дифференцируема на интервале (a,b)

и

f (x)

0 ( f (x) 0) при всех x (a,b) , то функция является вогнутой (вы-

пуклой) на (a,b) .

Точка

x0 , принадлежащая области определения D функции y f (x),

на-

направление выпуклости функции. Точка

(x0 , f (x0 ))

при этом называется

точкой перегиба графика функции.

Точка x0 D называется точкой

возможного

перегиба функции

y f (x), если в этой точке f (x0 ) 0 или

f (x0 )

не существует. Эти точки

разбивают область определения D функции

y f (x)на интервалы выпукло-

сти и вогнутости.

Необходимое условие перегиба. Если

x0 D -

точка перегиба функции

y f (x), то f (x0 ) 0 или f (x0 ) не существует.

Достаточное условие перегиба. Пусть функция

y f (x) дважды диффе-

ренцируема в окрестности точки x0 D ,

в которой f (x0 ) 0 или f (x0 )

Прямая

x x0 называется вертикальной асимптотой графика функции

y f (x),

если хотя бы один из односторонних пределов lim f (x) или

x x0 0

Прямая

y kx b

называется наклонной асимптотой графика функции

y f (x)

при

x (при x ), если

lim (f (x) kx b) 0

(соответ-

lim (f (x) kx b) 0 ).

x

ственно,

Частным

случаем наклонной асимптоты

x

(при k 0) является горизонтальная асимптота.

Прямая

y kx b

является наклонной асимптотой графика

функции

y f (x)

при

x (при x ) тогда и только тогда, когда одновре-

менно существуют пределы: lim

f (x)

k

и

lim ( f (x) kx) b

(соответ-

x

x

x

ственно,

lim

f (x)

k и lim ( f (x) kx) b ).

x

x

x

4. Построение графиков функций.

нужно: 1) найти область опре-

Для построения графика функции y f (x)

Всякий упорядоченный набор из

n

действительных чисел

(x1, x2, , xn )

называется

точкой

n -мерного арифметического

(координатного) про-

странства Rn и обозначается

или

M(x ,x

, ,x

) , при этом числа x

x

2

n

i

называются её координатами.

1

Пространство Rn

называется евклидовым, если расстояние между любыми

двумя его точками M(x1, ,xn )

и M0 (x10 , ,xn0 )

определяется формулой

(M,M

0

) (x x )2 (x

n

x

n0

)2 .

1

10

Пусть X Rn и

Y R - некоторые множества точек Rn и

R . Если каж-

дой точке

M X

ставится в соответствие по некоторому правилу

f одно

вполне определённое действительное число y Y , то говорят,

что на множе-

стве

X

задана

числовая

функция

от

n

переменных

и

пишут

y

f (x1,x2 , ,xn )

или кратко

y f (M)

и

y f (

) , при этом

X называ-

x

ется

областью определения,

Y

-

множеством значений,

x1,x2 , ,xn -

z C .

b называется пределом функции

y f (M) при M M0 (или в

Число

точке M0 ), и пишут lim f (M) b , если для любого числа 0

найдётся

M M0

число

( ) 0 такое, что при всех

M , удовлетворяющих

условию

0 (M,M0 ) ( ) , выполняется неравенство |

f (M) b| . Для функции

z f (x, y) пишут

lim f (x, y) b. Вычисление предела функции несколь-

x x0

хотя бы одно из следующих условий: 1) функция f (M)

определена в точке

M0 ;

2)

существует

конечный

предел

lim f (M);

3)

lim

M M0

f (M) f (M0 ) , то

M0 называется точкой

разрыва функции

M M0

Частной

производной

(1-ого порядка)

функции y f (M) в

точке

M(x1, xk

, ,xn )

по

переменной

xk

называется

предел

lim

1

k

k

n

1

k

n

, если этот предел су-

xk

xk 0

y

ществует.

Частную производную обозначают

или yx

.

xk

k

y

2 y

y

2 y

y

x

,

y

xm

(k m ).

2

x

x

k

xk

xk

xk

k k

xm

xk

xk xm

Производные

2 y

( k m ) называются смешанными. Аналогично оп-

z

z

2 z

2 z

2z

2 z

,

,

,

,

,

,… или zx , zy , zxx

, zxy

, zyx

, zyy

,….

y

x

2

x y

y x

x

y2

ветствующим

приращениям аргументов

x1, x2 , , xn называется раз-

ность y f (x1 x1,x2

x2, ,xn xn ) f (x1,x2 , ,xn ).

Функция

y f (M)

называется

дифференцируемой в точке

x

2 x2 x2 0

при

x 0, x

2

0, , x

n

0,

1

2

n

1

A1, A2, , An

- числа, не зависящие от x1, x2 , , xn .

Полным дифференциалом dy

функции

y f (M)

в точке M называется

главная,

линейная

относительно

x1, x2 , , xn

часть

A1 x1 A2 x2 An xn

полного приращения

y

функции,

равная

dy

y

dx

y

dx

y

dx

n

, где dx

x , ,dx

n

x

n

.

x

x

1

x

2

2

n

1

1

1

переменные

x1,x2 , ,xn

являются функциями новых, независимых пере-

менных (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Дифференциалом 2-ого порядка функции

y f (M) называется диффе-

ренциал от

её первого

дифференциала и

обозначается d2 y , т. е.

функции

y f (M)

справедлива

символическая

формула

dm y

m

dx

y , формально раскрываемая по биномиальному

x

x

1

n

1

закону.

Например,

для

функции

z f (x, y)

справедливы

формулы:

z

z

d

2

z

2 z

dx

2

2

2 z

dxdy

2 z

dy

2

dz

dx

dy ,

,

y

x2

x y

y2

x

а для функции и f (x, y,z)

- формулы: du

u

dx

u

dy

u

dz ,

y

x

z

2

2u

2

2u

2

2u

2

2u

2u

2u

d

u

dx

dy

dz

2

dxdy 2

dxdz 2

dydz.

x2

y2

z2

x y

x z

y z

Если функция y

f (x1, , xn ) f (M)

дифференцируема m раз в точке

M0 (x10 ,x20 , ,xn0 ) ,

то при

M M0 имеет место формула Тейлора (по-

рядка m) с остаточным членом в форме Пеано

f (M) f (M0 )

df (M

0

)

d2 f (M

0

)

d m f (M

0

)

о( m ),

2!

m!

1!

где (M,M0 ) 0 при M M0 . Частный случай формулы Тейлора в

точке (0,0, ,0) называется формулой Маклорена.

Уравнение касательной плоскости к

поверхности

z f (x, y) в точке

а уравнение нормали – вид

x x0

y y0

z z0

.

fx (x0, y0 )

fy (x0 , y0 )

1

ний функции у f (M)

в малой окрестности точки M0 , в которой функция

дифференцируема, по формуле: f (M) f (M0) df (M0) .

В

частности,

для

функции

z f (x, y)

по

формуле:

f (x,y) f (x0,y0) fx(x0,y0) x fy(x0,y0) y ,

где x x0

x ,

y y0 y . Чем

меньше значение ( x)2 ( y)2 , тем точнее формула.

Если

y f (x1,x2 , ,xn )

- дифференцируемая

функция

переменных

переменной

t :

x1 1(t), 2 (t), ,xn

n (t) ,

то производная

сложной

функции

y f ( 1(t), 2 (t), , n (t))

вычисляется

по

формуле

dy

y

dx1

y

dx2

y

dxn

.

Если

t

совпадает с одним из аргу-

x1 dt

dt

x2 dt

xn dt

dy

y

y dx2

y dxn

.

x2 dx1

xn dx1

dx1 x1

Если y f (x1,x2 , ,xn )

-

дифференцируемая функция переменных

переменных t1, ,tm :

x1 1(t1, ,tm ) ,…, xn n (t1,t2 , ,tm ), то частные

производные сложной функции

y f ( 1(t1, ,tm ), , n (t1, ,tm )) вычис-

ляются по формулам:

x1

x2

xn

y

y

y

y

,

xn

dt1

x1 t1

x2 t1

t1

………………………….………………..,

y

y

x1

y

x2

y

xn

.

dtm x1 tm

x2 tm

xn tm

В частности, для функции y f (x, y) справедливы формулы:

dz

z

dx

z

dy

,

где x x(t), y y(t) ;

x

y dt

dt

dt

dz

z

z

dy

,

где

y y(x) ;

x

dx

y dx

z

z

x

z

y

,

z

z

x

z

y

,

где x x(u,v), y y(u,v).

du x u

y u

dv x v

y v

Если уравнение F(x1,x2 , ,xn , y)

0,

где

F -

дифференцируемая функ-

ция по переменным

x1,x2 , ,xn , y ,

определяет

y

как функцию независи-

мых переменных

x1,x2 , ,xn ,

то частные производные этой неявной функ-

ции

y f (x1,x2 , ,xn )

вычисляются

по

формулам:

y

Fx

y

Fx

y

Fx

1

,

2

,…,

n

при условии, что Fy 0.

x1

Fy

x2

Fy

xn

Fy

В частности,

для

функции

y f (x), заданной неявно

уравнением

dy

F

F(x, y) 0 справедлива формула

yx

x

, при условии Fy 0, а для

dx

Fz

F

F

справедливы формулы:

z

x

,

z

y

, при условии Fz 0 .

x

Fz

y

Fz

дифференцированием данных формул.

Уравнение касательной плоскости к поверхности

z f (x, y), заданной

неявным уравнением F(x, y,z) 0,

в точкеM0(x0, y0,z0) имеет

вид

Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )(y y0 ) Fz (x0, y0, z0 )(z z0 ) 0 ,

а

уравнение нормали –вид

x x0

y y0

z z0

.

Fx (x0, y0, z0 )

Fy (x0 , y0 , z0 )

Fz (x0, y0, z0 )

y f (x

, , x

n

) f (M) , называется стационарной точкой функции,

если

1

каждая

из

её

частных производных равна

нулю,

т.е.

в этой

точке

fx (M

0

) 0 ,…, fx

(M

0

) 0

или df (M0 ) 0 .

1

n

Точка

M0

называется

точкой минимума

(максимума)

функции

y f (M), если существует окрестность точки M0

такая, что для всех точек

M M0

этой

окрестности

выполняется неравенство f (M) f (M0 )

( f (M) f (M0 ) ).

В частности, функция z f (x, y)

в стационарной точке

M0 (x0 , y0 ) , при

условии

D

A

B

AC B

2

0 ,

где

B

C

A fxx (M

0 ),B fxy (M0 ),

C fyy (M0 ) : 1) имеет максимум,

если

D 0 и

A 0 ; 2) имеет минимум,

если D 0

и A 0 ; 3) не имеет экстремума, если

D 0 .

в точках M(x, y, z) V . Поверхности

f (x, y,z) C , где C const

называют-

ся поверхностями уровня скалярного поля u f (x, y,z).

Градиентом скалярного поля u f (x, y,z)

называется вектор

u

u

u

gradu

i

j

k .

x

x

x

Производная скалярного поля u f (x, y, z)

по направлению произвольно-

го

вектора

xi y j zk

вычисляется

по

формуле

u

u

cos

u

cos

u

cos , где cos ,

cos , cos

- направляющие

y

x

z

косинусы вектора .

Градиент скалярного поля u f (M)

в точке М(x, y,z) направлен по нор-