УМК Математика (в 4-х частях) 2 семестр (инженерно-технические направления)

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Набережночелнинский институт КФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Если область D(y) не симметрична относительно точки x 0, то f (x) на

этом множестве является функцией общего вида.

Для этого находим

( x)4 13( x)2 36

x4 13x2 36 .

скольку f ( x) f (x)

для всех x D(y) ( , 3) [ 2,2] (3, ) ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

792.05 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

		x		2	,	x 1
26. а)		x			,	x 1
	у
	у		x a,			x 1
			x a,			x 1

27. а)	2 x,					x 1
27. а)	у					x 1
	x a,					x 1
			3		a,	x 0
28. а)	x				a,	x 0
28. а)	у					x 0
	arctgx,					x 0

29. а)	(x 1) (x a),						x 0
29. а)	у						x 0
	2x 1,						x 0
30. а)	sinx,					x 0
30. а)	у					x 0
	3x a,					x 0

31-40. Найти производную у

б)	1 x				x 1
б)	y				x 1
	ln x				x 1
		x				x 0
б)	e					x 0
б)	у					x 0
	2x 1					x 0

	x 2					x 2
						2 x 0
б) y 2 x						2 x 0
		2		2		x 0
	x			2		x 0
б)	1 x					x 1
	y
	y		x			x 1
			x			x 1
		2x				x 0


б) y x2 1 0 x 1
	2	x 1

f (x) :

arctg34x

в) x sin2t

31. а)

у 3 x2 4x 5

б)

ln(6x 1)

y cos2t

в) x tg3t

32. а)

у (2x 1) e 3x

б)

arcsin3x

ln(5x 1)

y ctg3t

2 x2

2t 1

33. а)

б)

у ctg3x

cos

в)

3 4x2

cos

34. а)

у x2 16 4x

б)

в) x ln

sin4x 1

lnt

35. а)

2x 3

б)

у (cos4x 2) sin3x

в) x sin3t

4 3x 5

y ctg3t

36. а)

у x2 ln(3x 1)

б)

в) x

x3 4x 1

y sin2t

37. а)

у (2x 1)3 arctg4x

б)

cos3 4x

в) x tg4t

ln(5x 1)

y ctg2t

38. а)

4x 2

б) у e 3x2

(3x 2)

в) x 3sin2t

2x 3

y cos4t

39. а)

у e 4x ln(2x 4)

б)

sin3 4x

в) x arcsin2t

4 5x 1

y arctg2t

40. а)

у 3sin2 4x tg3x

б)

arcsin4x

в) x ln5t

3 arctg2x

y lg3t

41-50. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.


				2		5x 3
41.	а)lim		2x
			2			4x 5
	x 1		x
42.	а)lim		3x	2		10x 3

			x	2		2x 3
	x 3
43.	а)lim	x2		6x 16
				2
	x 2		3x			5x 2
			2			3x 2
44.	а)lim		x
			3x	2		4x 7
	x 1
				2		5x 3
45.	а) lim		2x
			2			5x 6
	x 3		x
				2		4x 1
46.	а)lim		3x
			2			5x 7
	x 1		2x
			2			3x 2
47.	а)lim		x
			3x	2		4x 7
	x 1
				2		13x 7
48.	а)lim		2x
			2			9x 14
	x 7		x
				2		11x 5
49.	а)lim		2x
			2		7x 10
	x 5		x
				2		9x 18
50.	а) lim		2x
			2			7x 6
	x 6		x

б)lim	ex	e x 2cosx
		x	2
x 0

б)limx ctgxx2 1

x 0

б)limx 2lnx

x x

б)lim1 cos(4 x2)

x 0 x

б)lim			2x 2sinx
		2
x 0			x
б)lim	sin2 2x sin2 x
			x	2
x 0
б)lim			ln(sinx)

x 0 ln(sin2x)

ln(cosx) б)limx 0 ln(cos2x)

e2x 1

б)limx 0 ln(1 2x)

б) lim 1 tgx

x 4 cos2x

в)lim(x2 e1x2 )

x 0

в)limx (e2x e1x)

в)lim(tgx lnsin x)

x 0

в)lim

x 1

lnx

в)limx ctg8x

x 0

в)lim

ctgx

x 0

в)lim

x 0

x sinx

в)lim

tgx ln

x 0

в)limx ln 1

в) lim (x 1) ln(1 x)

x 1 0

51-60. Для указанной функции y f (x) требуется:

а) провести полное исследование функции и построить её график;

б) найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a,b] .

в) составить уравнение касательной к графику функции в точке x0 .

51. а)	y	x2 x 6			б) y x3 3x2 4 ,	a 0,b 4

			x 2
в)	y		1	,	x0 1
		x
			2 1

52.а) y 3x4 1

в) y x x3 ,		x0 1
53. а) y	4x 12
	(x 2)2

в) y 2x2 3x

54. а) y x x2 4

в) y x 1 , x

55. а) y x x 3

в)

3 1

56. а)

4 1

в)

1 3x2

3 x2

57. а) y

x3 3x

2 1

в)

1, x0 2

x0 1

x0 0

x0 1

x0 4


б) y x	2	16			16,				a 1,b 4

			x
б) y 4 x				4		,		a 1,b 4

				x2

б) y 2 x x,							a 0,b 4
б) y x3 3x2 6 ,									a 1,b 4
б) y 1 3								,
			x2 2x						a 0,b 2
б) y x3 6x2 6,									a 2,b 4

58. а) y	x3	б) y x3 3x2 5,	a 1,b 3
	2(x 1)2

в) y

x2 2x 2

x0 2

59.

а) y

б)

10x 10

a 1,b 2

(1 x2)2

x2 2x 2

в) y

4 2x2

x0 1

y 2x 33

60.

а) y

б)

a 1,b 1

x2 4

в) y

x0 1

2 1

61 – 70. Для указанной функции

z f (x, y)

требуется: а) найти дифферен-

циал dz и

2 z

; б)

вычислить приближённо (с помощью первого дифферен-

x y

циала) значение функции z f (x, y) в точке M(x, y) .

z x2ey ,

61.

M(1.94,0.12)

62.

x2 ln y

M(1.04,1.02)

z ln(x2 y3),

63.

5ex y2

M(0.06, 2.03)

64.

M(0.99,0.09)

65.

ln x y2

, M(1.07,1.04)

66.

x3 y2

M(2.03, 0.98)

z ln(x3

y3),

67.

M(0.08, 0.97)

68.

5ey x2

M(2.03, 0.02)

z ln(x2 y2) ,

69.

z x

1 y3

M(2.01, 2.05)

70.

M(1.05, 0.08)

71 – 80. Найти локальные экстремумы функции z f (x, y):

71.

z x2

xy y2 12x 3y

72. z xy (1 x y),

(x 0, y 0)

73.

z 3 2x y x2 xy y2

74.

z xy2 (12 x y) , (x 0, y 0)

75.

z xy

(x 0, y 0)

76.

77.

z x3 y3 3xy

78.

z x2

xy y2

9x 6y 20

79.

z x2

y2 2ln x 18ln y

80.

z x2

2xy 4y2

81–90. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z f (x, y)

в ог-

раниченной и замкнутой области.

x2 y2

81.

z x y

в круге:

82.

z x2

3y2 x y

в треугольнике:

x 0,

y 0, y x 1

83.

z x2

6x 4y 2

в прямоугольнике:

1 x 4, 3 y 2

84 z x2

в прямоугольнике:

2 x 1, 1 y 3

85.

z 1 x 2y

в треугольнике:

x 0, y 0, x y 1

86.

z xy (6 x y)

в треугольнике:

x 0, y 0, x y 12

87 z 3 2xy

в круге:

x2 y2 1

88 z xy x y

в прямоугольнике:

2 x 2, 2 y 4

89.

z x 2y 5

в треугольнике:

x 0, y 0, x y 1

90.

z x2

xy y

в прямоугольнике:

2 x 2, 3 y 3

–

100. Найти: а) производную

функции

u f (x, y,z)

точке

grad u и

M0 (x0, y0, z0 )

по направлению вектора l

;

б) градиент функции

его величину | grad u| в точке M0 (x0, y0, z0 ) .

91.

u x ln(z2 y2) ,

2i j k ,

M0 (2,1,1)

92.

u y ln(1 x2) arctgz,

3j 2k ,

M0 (0,1,1)

93.

u ln(3 x2) xy2z ,

2j 2k ,

M0 (1,3,2)

94.

u xy

j k ,

M0 ( 4,3, 1)

95.

u z2 2arctg(x y) ,

i 2 j 2k ,

M0 (1,2, 1)

96.

9 z2 ,

2 j k ,

M0 (1,1,0)

97.

u ln(x

y2 z2 ),

j k ,

M0 (1, 3,4)

u x2 y2z ln(z 1),

98.

6 j 2

5k ,

M0 (1,1,2)

99.

u ln(x2 y2) xyz ,

j 5k ,

M0 (1, 1,2)

100. u (x2 y2 z2)3 2 ,

l i j k ,

M0 (1,1,1)

5.2. Вопросы к экзамену (зачёту).

Раздел. Введение в анализ.

1.Понятие множества. Подмножество. Универсальное множество. Способы задания множеств. Равенство и эквивалентность множеств.

2.Пересечение, объединение и разность множеств. Дополнение множества. Диаграммы Эйлера-Венна.

3.Множества чисел. Счётные и несчётные множества. Множество действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства.

4.Модуль действительного числа и его свойства.

5.Числовые множества. Верхняя и нижняя грани, наибольший и наименьший элементы числовых множеств. Числовые промежутки. Окрестность конечной точки и бесконечности.

6.Понятие функции. Основные способы задания функции. Естественная область определения функции. Явная, неявная и параметрическая формы аналитического задания функции. График функции.

7.Основные элементы поведения функции (чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, монотонность).

8.Основные элементарные функции (степенные: x , x2 , x3 , x 1 , x ; тригонометрические:sin x , cos x , tgx , ctgx ; обратные тригонометрические:

arcsin x , arccos x , arctgx , arcctgx; показательная ax, логарифмическая

loga x), их свойства и графики.

9.Понятие обратной и сложной функций. Элементарные функции, их классификация. Преобразование графиков элементарных функций.

10. Простейшие элементарные функции: y ax b ,

y ax2 bx c,

y(ax b)(cx d) , их свойства и графики.

11.Понятие числовой последовательности, арифметические операции над ними. Ограниченные и неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.

12.Предел числовой последовательности и его геометрический смысл. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

13.Монотонная последовательность и признак её сходимости. Число e . Задача о непрерывном начислении процентов по банковским вкладам.

14.Понятие предела функции в конечной точке и на бесконечности, их геометрический смысл. Односторонние пределы. Условия существования предела функции в конечной точке.

15.Бесконечно малые и большие функции, их основные свойства и взаимосвязь. Примеры бесконечно малых и больших функций.

16.Функции, ограниченные при x a . Взаимосвязь между функциями, имеющими предел и ограниченными при x a .

17.Основные теоремы о пределах функций (о пределе постоянной, суммы, разности, произведения и частного функций; о пределе сложной и элементарной функций). Предельный переход в неравенствах.

18.Первый и второй замечательные пределы, их следствия и применение при вычислении пределов.

19.Эквивалентные бесконечно малые функции, их основные свойства и применение при вычислении пределов.

20.Определения непрерывности функции в точке. Понятие непрерывности справа и слева. Условия непрерывности функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями.

21.Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Условие существования непрерывной обратной функции.

22.Понятие непрерывности на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке (об ограниченности функции, об обращении функции в нуль, о наибольшем и наименьшем значениях функции).

23.Точки разрыва функции, их классификация и нахождение.

24.Комплексное число, его изображение на плоскости. Комплексносопряжённое число. Модуль и аргумент комплексного числа. Различные формы записи комплексного числа (алгебраическая, тригонометрическая). Множество комплексных чисел, его геометрическая интерпретация.

25.Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) в алгебраической и тригонометрической формах.

26.Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.

27.Понятие многочлена, алгебраического уравнения. Основная теорема алгебры и теорема Безу. Разложение многочлена на множители. Нахождение корней квадратного уравнения на множестве комплексных чисел.

Раздел. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

28.Приращение функции. Определение производной. Правая и левая производные. Условия существования конечной производной в точке.

29.Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой в данной точке, их уравнения.

30.Понятие дифференцируемости функции в точке. Взаимосвязь понятий: дифференцируемость в точке, непрерывность в точке, существование в точке конечной производной.

31.Непосредственное нахождение производной. Простейшие правила дифференцирования (постоянной, суммы, разности, произведения и частного функций).

32.Дифференцирование обратной функции.

33.Дифференцирование сложной функции.

34.Дифференцирование функций, заданных параметрически.

35.Логарифмическая производная, её применение для нахождения производной степенно-показательной функции.

36.Дифференциал функции. Правила вычисления дифференциалов. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

37.Производные и дифференциалы высших порядков, их нахождение.

38.Теорема Ферма. Геометрический смысл теоремы.

39.Теорема Ролля. Геометрический смысл теоремы.

40.Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы. Формула конечных приращений Лагранжа.

41.Теорема Коши.

42.Формулы Тейлора и Маклорена, их применение в приближённых вычислениях.

43.Правило Лопиталя и его применение для раскрытия неопределённостей:

0 0, ,

0 ,

00, 0,

1 .

44.Достаточный признак монотонности функции. Стационарные и критические точки. Нахождение интервалов монотонности функции.

45.Точки локального экстремума (максимума и минимума) и локальные экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия существования локального экстремума функции.

46.Глобальные экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) функции на отрезке, их нахождение.

47.Понятия выпуклости и вогнутости функции. Достаточный признак выпуклости (вогнутости) функции на интервале. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости функции.

48.Точка перегиба графика функции, условия её существования и нахождение.

49.Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные и наклонные асимптоты, условия их существования и нахождение.

Раздел. Функции нескольких переменных. Функции комплексного переменного.

50.N-мерная точка, n-мерное арифметическое пространство Rn . Расстояние в Rn . N-мерный шар. Окрестность точки в Rn . Классификация точек

(предельные, внутренние, граничные). Множества точек в Rn (открытые, замкнутые, ограниченные, связные, выпуклые).

51.Понятие функции 2-х переменных, n-переменных. Естественная область определения ФНП, график функции 2-х переменных, линии и поверхности уровня.

52.Частные и полное приращения ФНП. Понятия предела и непрерывности ФНП. Свойства функций непрерывных в ограниченной и замкнутой области.

53.Частные производные первого и высших порядков, их нахождение.

54.Понятие дифференцируемости ФНП в точке. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.

55.Взаимосвязь понятий: дифференцируемость ФНП в точке, непрерывность в точке, существование в точке конечных частных производных.

56.Геометрический смысл дифференцируемости ФНП в точке. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в данной точке.

57.Дифференциалы ФНП первого и высших порядков, их нахождение. Применение первого дифференциала в приближённых вычислениях.

58.Производная по направлению и градиент, связь между ними.

59.Неявная ФНП, правила вычисления её производных.

60.Понятие функции комплексного переменного. Элементарные функции комплексного переменного. Формула Эйлера.

61.Точки локального экстремума (максимума и минимума) и локальные экстремумы ФНП. Стационарные и критические точки. Необходимое и достаточное условия локального экстремума ФНП.

62.Условный экстремум ФНП. Функция Лагранжа. Нахождение условного экстремума методом неопределённых множителей Лагранжа.

63.Глобальные экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) ФНП в ограниченной и замкнутой области, их нахождение.

64.Понятия скалярного и векторного поля. Дивергенция и ротор векторного поля.

65.Потенциальное и соленоидальное векторные поля.

6. Приложения.

6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.

1-10. Требуется:

а) найти естественную область определения функции y e x ln(2 3x) ;

б) установить чётность (нечётность) функции y x4 13x2 36 . Решение. а) Естественную область определения находим как множество

D(y)

всех

значений

аргумента

функции,

для

которых

формула

x 0

y e

x ln(2 3x) имеет смысл: D(y)

x R

. Решив (на чи-

2 3x 0

словой прямой) систему неравенств

x 0

, устанавливаем, что геомет-

2 3x 0

рическим образом множества D(y) является промежуток [0, 2 3) .

б) Находим

сначала

естественную

область

определения

функции

x4 13x2 36 :

D(y) {x R | x4 13x2

36 0}. Решив (на числовой

прямой) неравенство

x4 13x2 36 (x 3)(x 2)(x 2)(x 3) 0 ,

устанав-

ливаем, что геометрическим образом множества D(y) является объединение промежутков ( , 3) [ 2,2] (3, ) .

Так как область D(y)	является симметричной относительно точки x 0, то
проверяем выполнение	для всех	x D(y)	условий: f ( x) f (x) или
f ( x) f (x), учитывая чётность		и нечётность основных элементарных
функций, входящих в аналитическое выражение			f (x).


функция y		x4 13x2	36 является чётной.
Ответ: а)	D(y) [0, 2		3) , y e		x	ln(2 3x) ;

б)	функция y			x4 13x2		36 - чётная.

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.11.2018241.15 Кб5Трудовое право (планы семинаров).doc
#
26.02.2016183.3 Кб6ТСИ для гр2131117,2131121.doc
#
11.11.20194.26 Mб1ТСИ_Лабораторная работа №2.doc
#
16.09.20193.67 Mб48ТЭЦ 440 МВт-мой диплом гост.doc
#
26.02.2016698.88 Кб15умк ЕИ КФУ14изм2.doc
#
26.02.2016792.05 Кб73УМК Математика (в 4-х частях) 2 семестр (инженерно-технические направления).pdf
#
12.11.2019612.86 Кб8УМК Римское право для студентов.doc
#
26.02.20163.04 Mб115УМК ТВиМС.doc
#
16.11.20193.89 Mб7УМК_АЛГЕБРАиГЕОМЕТРИЯ-2011.doc
#
26.02.201648.31 Кб24УМК_Менеджмент инноваций (1).docx
#
26.02.20162.92 Mб122УММ_ДО_Эконометрика.doc