УМК Математика (в 4-х частях) 2 семестр (инженерно-технические направления)

График функции

y f1(x) f2 (x) можно построить, предварительно по-

строив графики функций

f1(x)

и f2 (x) , а затем сложив их ординаты при

одинаковых значениях x .

Тема. Предел функции. Эквивалентные функции.

Число b

называется пределом функции y f (x)

при x x0

(или в точке

x0 ), и пишут

lim

f (x) b , если для любого числа 0 найдётся число

x x

0

( ) 0

такое,

что

при

всех

x ,

удовлетворяющих

условию

0 | x x0

| ( ), выполняется неравенство | f (x) b| .

Число b называется пределом функции

y f (x) при x ,

и пишут

lim f (x) b, если для любого числа 0

найдётся число ( ) 0 такое,

x

что при всех

x ,

удовлетворяющих условию | x| ( ), выполняется нера-

венство | f (x) b| .

Рассматривают

также

односторонние

пределы

функций:

lim

f (x) ,

lim f (x) ,

lim f (x) ,

x x0 0

lim f (x) , где

x

стремится к x0 , ,

или

x x0 0

x

x

только с левой стороны или только с правой стороны.

x a

x a

а) lim(f (x) g(x)) b d ;

б) lim( f (x) g(x)) b d ;

x a

x a

в) lim(сf(x)) с b

(с сonst);

г) lim

f (x)

b

, если d 0.

x a

x a g(x)

d

новной элементарной функции

f (x) и точки

x0 из её области определения

справедливо соотношение lim f (x) f (x0 ) .

x x0

бесконечно

большой при x a , если

Функция f (x) называется

1)

Еслиlim f (x) , тоlim

1

0 ,если lim

f (x) 0 , тоlim

1

x a

x a f (x)

x a

x a f (x)

2)

Если lim f (x)

и

lim g(x) d ,

то lim( f (x) g(x)) .

x a

x a

x a

3)

Если lim f (x)

и

lim g(x) ,

то lim(f (x) g(x)) .

x a

x a

x a

4)

Если lim f (x)

и

lim g(x) d 0,

то lim(f (x) g(x)) .

x a

x a

x a

5)

Если lim f (x) b

и

lim g(x) ,

то lim( f (x)

g(x)) 0.

x a

x a

x a

6)

Если lim f (x) b 0

и

lim g(x) 0 ,

то lim( f (x)

g(x)) .

x a

x a

x a

Первым замечательным

пределом называется

предел: lim

sin x

1.

Следствиями из него являются пределы:

x 0 x

lim

tgx

1,

lim

arcsin x

1,

lim

arctgx

1

x

x 0 x

x 0

x 0 x

Вторым замечательным пределом называются пределы:

1

x

1 x

lim 1

lim 1 x

e,

x

x

x 0

lim u(x)v(x) ,

где lim u(x) 1 и

lim v(x) .

x a

x a

x a

При нахождении пределов lim u(x)v(x)

следует иметь в виду:

x a

1) Если lim u(x) b 0,

lim v(x) d , то lim u(x)v(x)

bd .

x a

x a

x a

что: lim

bv(x)

0, 0 b 1

,

lim bv(x)

, 0 b 1

b 1

0,

.

x a

,

x a

b 1

v(x)

v(x)

Бесконечно малые функции (x)

и (x)

при

x a

называются эквива-

lim

(x)

lim

1(x)

lim

(x)

lim

1(x)

;

x a (x)

x a (x)

x a 1(x)

x a 1(x)

lim( (x) (x)) lim( 1(x) (x)) lim( (x) 1

(x)) lim(

1(x) 1(x))

x a

x a

x a

x a

Основные эквивалентности при (x) 0

sin ~

tg ~

arcsin ~

arctg ~

1 cos ~

2

e 1~

a 1~ lna

ln(1 )~

2

(1 x)m 1~m

n

1~

m

loga (1 ) ~

(1 x)m

ln a

n

но

в соответствие одно

вполне определённое

действительное число

xn

f (n), то говорят,

что задана числовая

последовательность

x1,x2 , ,xn , . Кратко обозначают (xn ) . Число xn

называется общим чле-

Число a называется пределом последовательности

(xn ) , и

пишут

lim x

n

a , если для любого числа 0 найдётся номер

N( ) такой, что

n

при всех n N( ) выполняется неравенство | xn a| .

Последовательность

(xn ) , имеющая конечный предел, называется сходя-

щейся, в противном случае – расходящейся.

Последовательность

(xn )

называется:

1) убывающей,

если

x1 x2

xn ;

2) возрастающей, если

x1 x2 xn ; 3)

неубывающей, если

x1 x2

xn ; 4)

невозрастающей,

если

x1 x2

xn . Все вышеперечисленные последовательности назы-

ваются монотонными.

число M 0 такое, что для всех n N выполняется условие:

| xn | M . В

противном случае последовательность - неограниченная.

ность имеет предел.

называется бесконечно малой, если

lim x

Последовательность (xn )

n

0.

n

Последовательность (xn )

называется бесконечно большой (сходящейся к

бесконечности) и пишут lim x

n

,

если для любого числа 0 найдётся

n

номер N( ) такой, что

при

всех

n N( ) выполняется

неравенство

| xn | .

1 n

Числомe называется предел последовательности(xn ) , где xn 1

n

Если функция f (x)

определена всюду в некоторой окрестности точки x0

(левой

полуокрестности,

правой полуокрестности)

и lim f (x) f (x0 )

( lim

lim

x x0

f (x) f (x0 ) ,

f (x) f (x0 ) ), то функция

f (x) называется не-

x x0 0

x x0 0

Если в точке

x0

lim f (x) f (x0 ) , то

x0

называется точкой разрыва

x x0

функции f (x). При этом различают следующие случаи:

1) Если lim

f (x) lim

f (x) f (x0 ) ,

то

x0 называется точкой устра-

x x0 0

x x0 0

нимого разрыва функции f (x).

2) Если в точке x0

функция f (x) имеет конечные односторонние пределы

lim f (x) и

lim

f (x) ,

но они не равны друг другу, то x0 называется

x x0 0

x x0 0

рывна слева). Функция f (x)

непрерывная на отрезке [a,b]

обладает свойст-

вами: 1) ограничена на [a,b] ; 2) достигает на отрезке [a,b]

своего наимень-

шего значения m и наибольшего значения

M ; 3) для любого числа С , за-

ключённого между числами

f (a) и f (b) ,

всегда найдётся точка с [a,b]

такая, что

f (c) C ; 4) если

f (a) f (b) 0, то всегда найдётся точка с (a,b)

такая, что

f (c) 0 .

нию

аргумента

x 0

называется

выражение

y f (x0, x) f (x0 x) f (x0 ).

x0 называется ко-

Производной 1-ого порядка функции

y f (x) в точке

нечный предел f (x0) lim

f (x0, x)

. Геометрический смысл производ-

x

x 0

ной состоит в том, что число

f (x0 )

равно угловому коэффициенту каса-

Если функция f (x) непрерывна в точке x0

f (x0

, x)

и lim

, то

x 0

x

f (x

f (x0, x)

f

(x

f (x0

, x)

Числа

0

)

lim

и

0

)

lim

назы-

x 0

x

x 0

x

ваются, соответственно левой и правой производными функции

y f (x) в

точке x0 . Условие

f (x0 ) f (x0 )равносильно дифференцируемости функ-

ции f (x)

в точке x0 , при этом

f

(x0 ) .

(x0 ) f

(x0 )

f

Любая элементарная функция

y f (x)

дифференцируема во всякой внут-

ренней точке

x

естественной области определения

D функции

f (x), в ко-

торой аналитическое выражение

её

производной

y

f (x) имеет смысл.

Производная

f

x , где она су-

(x) , рассматриваемая на множестве тех точек

ществует,

сама является

функцией.

Операция

нахождения

производной

f (x).

f (x) называется также дифференцированием функции

Основные правила дифференцирования элементарных функций.

1. Если f (x)

и g(x) дифференцируемые функции, C - постоянная, то:

(C) 0

( f g) f g f g

( f g) f g

f

f g f g

,

g 0

2

g

g

1

g

(Сf ) Cf

2 , g 0

g

g

2. Если функция u (x)

дифференцируема в точке x0 , а функция y F(u)

дифференцируема

в

точке

u0

(x0 ),

то

сложная

функция

y f (x) F( (x))

дифференцируема в точке x0

и имеет производную:

f (x0 )

F (u0 ) (x0 )

или кратко

yx

yu ux

..

Логарифмической производной функции

y f (x) называется производ-

ная от логарифма этой функции, т.е. (ln y)

y

f (x)

.

y

f (x)

y y (ln y) .

Например,

для

степенно-показательной

функции

y f (x) uv , где u(x) 0, v(x) - дифференцируемые функции:

uv uv (v lnu) .

Если дифференцируемая

функция

y y(x) задана неявно

уравнением

F(x, y(x)) 0 , то производная y y (x)

этой неявной функции может быть

найдена из уравнения Fx (x, y) 0 , линейного

относительно y (x) , где

F(x, y(x))-рассматривается как сложная функция переменной x .

Если

y f (x) и x f 1(y) -взаимно обратные дифференцируемые функ-

ции и

yx 0 , то справедлива формула:

xy

1

(правило дифференциро-

yx

вания обратной функции).

y y(x)

Если

дифференцируемая функция

задана параметрически:

x x(t), y y(t) ( t ), где

x(t) , y(t) -дифференцируемые функции

и xt 0, то справедлива формула:

yx yt xt (правило дифференцирова-

от

(n 1) -ой

производной

и

обозначается

y(n)

f (n) (x) ,

т.е.

y

(n)

(y

(n 1)

y

(n)

dn y

)

.Для производной

используется также обозначение

.

dxn

Производная

y(n)

функции

y f (x)

вычисляется

её последовательным

дифференцированием: y

,

y

,

y

, …, y

(n)

(y

(n 1)

)

.

Если

(y )

(y )

(yx )t

(yxx )t

,….

yxx

, yxxx

xt

xt

Если функция y f (x)

дифференцируема в точке x , то её приращение

y f (x) x ( x) x

, где ( x) 0 при

x 0 .

Дифференциалом dy

функции

y f (x) в точке x

называется главная,

линейная относительно

x

часть

приращения

y функции:

f (x) x

dy f (x) x . В частности, для функции y x

имеем

dy x , т.е. диффе-

ренциал независимого переменного

x

совпадает с приращением x . Поэто-

му дифференциал функции

y f (x)

записывается в

виде

dy f (x)dx .

f (x) f (x0 ) df (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) x ,

где

x x0 x .

Чем меньше значение | x| , тем точнее приближённая формула.

Уравнение касательной к графику функции y f (x)

в точке M0 (x0 , y0 )

имеет

вид:

y y0 f (x0 )(x x0 ), а

уравнение

нормали - вид:

у у0

1

(x x0 ) . Углом между

двумя

кривыми

y f1(x) и

(x0 )

формуле: tg

f1(x0 )

f2

.

1 f1(x0 ) f2 (x0)

Теорема Роля. Если функция

f (x)

непрерывна на отрезке [a,b], диффе-

ренцируема на интервале (a,b) и

f (a) f (b) , то на (a,b) существует точка

с такая, что f (c) 0.

Теорема Лагранжа. Если функция

f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и

Теорема Коши. Если функции

f (x)

и g(x) непрерывны на отрезке [a,b],

дифференцируемы на интервале (a,b)

x (a,b) , то на

и g (x) 0 при всех

интервале (a,b) существует точка с такая, что

f (b) f (a)

f (c)

(формула Коши).

g (c)

g(b) g(a)

f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) f (n) (x0 ) (x x0 )n о((x x0 )n ) .

1!

n!

f (x0)

f (n) (x0)

n

f (n 1) (c)

n 1

где

f (x) f (x0)

(x x0 )

(x x0)

(x x0 )

1!

(n 1)!

n!

f (x) f (x

0

)

f (x0)

(x x

)

f (n )(x0)

(x x

0

)n

, где

n -минимальный из

1!

0

n!

номеров n для которых

f (n 1) (c)

(x x0 )n 1

.

(n 1)!

lim

f (x)

lim

f (x)

. Правило Лопиталя используют для раскрытия неопре-

x a g(x)

x a g (x)

делённостей видов

0

и

.

0

правила.

Раскрытие неопределённостей видов 0 ,

,

1 , 0 , 00 путём пре-

образований:

ln f

f

(1 g) (1 f )

f (x) g(x)

,

f (x) g(x)

,

f (x)g(x) egln f e1 g

1 g

(1 f ) (1 g)

приводится к раскрытию неопределенностей видов

0

и

.

0