Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Набережночелнинский институт КФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК Математика (в 4-х частях) 2 семестр (инженерно-технические направления)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

792.05 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

(3x

(3y

A(x, y) zxx

(zx )x

15)x

)x (15)x

3(x2)x 0 0 3 2x 6x ;

(3x

(3y

B(x, y) zxy

(zx )y

15)y

(15)y

0 3(y2)y 0 3 2y 6y ;

C(x, y) zyy

(zy )y

(6xy 12)y

(6xy)y (12)y 6x(y)y 0 6x,

составляем выражение D(x, y) AC B2

6x 6x (6y)2

36x2 36y2 и

вычисляем:

D M1(1, 2) 36 12 36 22 108 0; D M2(2,1) 36 22 36 12 108 0 ,

AM2(2,1) 6 2 12 0.

5)Делаем вывод о наличии экстремумов. Так как:

DM1 108 0 , то в точке M1(1, 2) экстремума нет;

D M2 108 0 , A M2 12 0 , то в точке M2 (2,1) - локальный минимум.

6) Находим локальный минимум

zmin

f (2,1) 23 3 2 12 15 2 12 1 28.

Ответ:

zmin f (2,1)

28 .

81–90.

Делаем вывод

о наличии

экстремумов. Так как

для всех dx 0 :

( 2, 1), 1 2

5(dx)2

0 ,

то в точке M1( 2, 1) -

условный локаль-

ный минимум;

(2,1), 1 2

5(dx)2

0 , то в точке M2 (2,1) - условный локальный

максимум.

6) Находим условные минимум и максимум функции z 2x y при условии

x2 y2 5 :

zmin f ( 2, 1) 2 ( 2) ( 1) 5 ,	zmax f (2,1) 2 2 1 5
Ответ: zmin f ( 2, 1) 5 , zmax f (2,1) 5	при условии x2 y2 5 .
81–90. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
z f (x, y) x2 y2 2xy 4x в области:	x 0, y 0 , x y 3.

Функция z f (x, y), дифференцируемая в ограниченной замкнутой области

D D , достигает своего наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках Mi D , или в точках границы области D . Для их нахождения необходимо: 1) Найти все стационарные точки Mi D функции

и вычислить		в	них значения функции	f (Mi ) . 2) Найти наибольшее
M max f (x, y)			и наименьшее m min f (x, y) значения функции на гра-

нице ,	задаваемой одним аналитическим выражением в явном виде
y (x)	или	x (y). Если k , где		k задаются одним аналитиче-

ским выражением в явном виде, то находят наибольшие и наименьшие зна-

чения M

и m

функции на каждом из участков k

границы. 3) Сравнить

f (Mi ) ,

M ,

значения

функции

и выбрать

из них наибольшее

M max f (x, y) и наименьшее

m min f (x, y) значения функции в области

Решение.

Изображаем область

(она представляет собой треугольник, ог-

раниченный прямыми x 0,

y 0 , x y 3), находим стационарные точки

D функции z x2 y2

2xy 4x , решая систему уравнений

0 , и вычисляем в них значения функции f (Mi ) .

Учитывая,

что:

(x2

2xy 4x)x

2x 2y 4,

zy (x2

2xy 4x)y 2y 2x , получим

2x 2y 4 0

Отсюда

2x 2y

x 1,

y 1 и, следовательно, единственной стационарной точкой функ-

ции в области D является точка М1( 1, 1).

Вычислив

значение

функции

этой

точке,

получим

f (M1) f ( 1, 1) ( 1)2 ( 1)2 2 ( 1)( 1) 4 ( 1) 2.

2) Границу

области

представляем

виде

1 2 3, где

1 OA: x 0, 3 y 0;

2 AB : y x 3, 3 x 0;

3 BO : y 0 , 3 x 0

и находим наибольшие и наименьшие значения

функции на каждом из участков границы: M

, M ,m ,

, m .

На участке

OA: x 0, 3 y 0:

(y) y2 .

Таким образом,

пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

одной переменной z (y) y2	на отрезке [ 3, 0]. Эти значения функция
1

принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу ( 3, 0) или на концах отрезка. Для их отыскания находим первую производную функ-

ции: (z1(y))y	( y2)y 2y и определяем её внутренние критические точ-
ки, т.е. точки	yi ( 3, 0) в которых	z1(yi ) 0	или z1(yi )	не существует:
z1 2y 0 y 0 ( 3, 0), точек		yi ( 3, 0)	в которых	z1 не существу-

ет нет. Вычисляем значения функции z1(y) во внутренних критических точ-

ках

(таких

точек нет) и

на концах отрезка [ 3, 0]:

z ( 3) ( 3)2 9 ,

z (0) (0)

2 0 . Сравнивая значения z

( 3), z

(0)

находим наименьшее и

z1(y)

наибольшее

значения

функции

на

отрезке

[ 3, 0]:

min

z1(y) z1( 3) z(0, 3) 9 ,

[ 3, 0]

max z1(y) z1(0) z(0,0) 0.

[ 3,0]

На участке AB : y x 3, 3 x 0: z

(x) 2x2 8x 9. Та-

ким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной z2(x) на отрезке [ 3, 0]. Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу ( 3, 0) или на концах отрезка. Для их отыскания находим первую производ-

ную функции:

(z2(x))x ( 2x2 8x 9)x

4x 8 и определяем её внут-

ренние критические точки, т.е. точки

(xi ) 0 или

( 3,0) в которых z2

) не существует:

4x 8 0 x 2 ( 3, 0), точек

( 3,0)

z2 (xi

в которых

не существует нет. Вычисляем значения функции

z2(x) во

внутренних

критических

точках

на

концах

отрезка

[ 3, 0]:

z2 ( 2) 2( 2)2 8( 2) 9 1,

z2 ( 3) 2( 3)2 8( 3) 9 3 ,

z2 (0) 2 (0)2

8 0 9 9. Сравнивая значения z2 ( 3) , z2 ( 2), z2(0)

находим наименьшее

наибольшее значения функции

z2(x) на отрезке

[ 3, 0]:

min

z2 (x) z2 (0) z(0, 3) 9,

[ 3,0]

max z2(x) z2( 2) z( 2, 1) 1.

[ 3,0]

На участке

BO : y 0 , 3 x 0:

(x) x2

4x . Таким обра-

зом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной z3(x) x2 4x на отрезке [ 3, 0]. Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу ( 3, 0) или на концах отрезка. Для их отыскания находим первую производ-

ную функции:	(z3(x))x (x	2	4x)x 2x 4 и определяем её внутренние
критические точки, т.е. точки			xi ( 3,0) в которых z3(xi ) 0 или	z3(xi )
не существует:	z3 2x 4	0	x 2 ( 3, 0), точек xi ( 3,0)	в кото-

рых z3 не существует нет. Вычисляем значения функции z3(x) во внутрен-

них	критических			точках		и	на	концах	отрезка		[ 3, 0]:
z3( 2) ( 2)2 4( 2) 4 ,								z3( 3) ( 3)2 4( 3) 3,
z3(0) (0)2		4 0 0.		Сравнивая значения				z3( 3), z3( 2) , z3(0)			находим
наименьшее		и	наибольшее		значения		функции z3(x)		на отрезке		[ 3, 0]:
m	min z3 (x) z3( 3) z( 3,0) 3,						M max z3(x) z3(0) z(0,0) 0
3	[ 3, 0]						3	[ 3, 0]
3)	Сравнивая		значения		функции		f ( 1, 1) 2 ,		m	z(0, 3) 9 ,
									1
M	z(0,0) 0,			m		z(0, 3) 9,			M	z( 2, 1) 1,
1					2				2
m	z( 3,0) 3,			M		z(0,0)	0 ,	делаем	вывод,		что
3					3

m zнаим z(0, 3) 9, M zнаиб z(0,0) 0.

Ответ: m zнаим z(0, 3)

M zнаиб z(0,0)

– 100.

а) производную

u f (x, y,z)

Найти:

функции

точке

M0 (x0, y0, z0 ) по направлению вектора

;

б)

градиент функции

grad u и

его величину | grad u| в точке M0(x0, y0,z0) , если:

u ln(x y2

z3 ),

4j 4k ,

M0(1,2,1) .

Производная

функции

u f (x, y,z)

по

направлению

вектора

xi y j zk

находится

по

формуле

ux cos uy cos uz

cos , где

cos

| |

| | 2x 2y 2z .

Градиент

grad u

функции

u f (x, y,z)

находится

по

формуле

grad u ux i uy

j uz k ux ,uy ,uz .

Решение.

а1) Находим первые частные производные функции u ln(x y2

z3 ):

))x

(lnt)t

(ln(x

lnt

t x y

(x y2 z3)x

(x)x (y2)x (z3)x

1 0 0

;

x y2 z3

x y2

x y2 z3

(ln(x y

))y

lnt

t x y

(lnt)t

(x y2 z3)y

(x)y (y2)y (z3)y

0 2y 0

;

x y2 z3

x y2

(ln(x

))z

lnt

t x y

(lnt)t

					(x y2			z3)									(x)					(y2) (z3)																							0 0 3z2															3z			2
												z									z								z										z																												.
						x y2 z3																x y2 z3																							x y2 z3												x y										.
						x y2 z3																x y2 z3																							x y2 z3												x y					2			z3
а2) Вычисляем значения частных производных в точке M0(1,2,1) :
ux (M0 )		1							1	,uy (M0 )																		2 2									4			,uy (M0)															3 12										3
ux (M0 )	1 22 13									,uy (M0 )																														,uy (M0)
	1 22 13							6																1 22 13											6																			1 22 13									6
а3) Вычисляем направляющие косинусы вектора (2,4,4):
																										2					1													4					2									4				2
				22 42 42							6 ,																						,																		, cos													.
\| \|																	cos																	cos
\| \|																	cos																	cos											6
																									6				3																6		3								6							3
а4) Вычисляем значение													u					в точке M0(1,2,1) :
а4) Вычисляем значение																		в точке M0(1,2,1) :

							u	(M0)							1					1			4				2			3				2				1 8 6													15		.
							u	(M0)																																													.
												6							3			6			3				6					3							18									18
б1) Находим значение градиента функции grad u в точке M0(1,2,1) :
																			1						4									4								1 2 2
							gradu(M0 )															i							j							k										,		,				.
							gradu(M0 )															i							j					6		k										,	3	,				.
																			6						6									6								6					3			3
б2) Вычисляем \| grad u\|												в точке M0(1,2,1) :
														1					2			4			2					4					2
	\| gradu(M													1					2			4			2					4					2								1 16 16													33			.
								0)\|
								0)\|																																							62
														6								6								6																	62								6
			u					15																								1			2						2
Ответ: а)			u					15			; б)																					1			2						2																				33
						(M0 )										gradu(M0)																			,				,						,		\| gradu(M0)\|																			.
						(M0 )										gradu(M0)																			,				,						,		\| gradu(M0)\|													6						.
								18																								6			3						3																			6

A U \ A.

6.2. Краткие теоретические сведения.

Тема. Множества. Числовые множества. Функция.

Под множеством понимают некоторую совокупность объектов любой природы, различимых между собой и мыслимую как единое целое. Объекты, составляющие множество называют его элементами. Множество может быть бесконечным (состоит из бесконечного числа элементов), конечным (состоит из конечного числа элементов), пустым (не содержит ни одного элемента). Множества обозначают: А,B,C,...,X,Y,Z,..., а их элементы: a,b,c,...,x, y,z,.... Пустое множество обозначают .

Множество B называют подмножеством множества A, если все элементы множества B принадлежат множеству A и пишут B A. Множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут A B. Два множества A и B будут равны тогда и только тогда, когда A B и B A.

Множество U называют универсальным (в рамках данной математической теории), если его элементами являются все объекты, рассматриваемые в данной теории.

Множество можно задать: 1) перечислением всех его элементов, например: A a1,a2, ,an (только для конечных множеств); 2) заданием правила

P определения принадлежности элемента u универсального множества U , данному множеству A: A u U | P(u) .

Объединением множеств A и B называется множество

A B и U |u A или u B .

Пересечением множеств A и B называется множество

A B и U |u A и u B .

Разностью множеств A и B называется множество

A \ B и U |u A и u B .

Дополнением множества A (до универсального множества U ) называется

множество

Два множества A и B называются эквивалентными и пишут A~ B, если между элементами этих множеств может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Множество A называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел N : A~ N . Пустое множество по определению относится к счётным.

Понятие мощности множества возникает при сравнении множеств по числу содержащихся в них элементов. Мощность множества A обозначают | A|. Мощностью конечного множества является число его элементов.

Эквивалентные множества обладают равной мощностью. Множество A называется несчётным, если его мощность больше мощности множества N . Действительным (вещественным) числом называется бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком «+» или « ». Действительные числа ото-

ждествляют с точками числовой прямой. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа x называется неотрицательное число:

x,		если	x 0
\| x\|	x,	если	x 0

Множество X называется числовым, если его элементами x являются действительные числа.Числовыми промежутками называются множества чисел:(a,b),[a,b),(a,b],[a,b],( ,b) ,( ,b],(a, ),[a, ) ,( ., ) .

Множество всех точек x на числовой прямой, удовлетворяющих условию

0 \| x x0 \| ,	где	0 -	сколь угодно	малое число,	называется -
окрестностью	(или	просто	окрестностью)	точки x0	и обозначается

O (x0 ). Множество всех точек x условием | x| , где 0 - сколь угод-

но большое число, называется -окрестностью (или просто окрестностью) бесконечности и обозначается O ( ) .

Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называ-

ется переменной. Функцией f называется правило, по которому каждому
числу x X	ставится в соответствие	одно вполне определённое число
y Y , и пишут y f (x). Множество X		называется областью определения
функции, Y	- множеством (или областью) значений функции, x X - ар-

гументом, y Y - значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция

задаётся	формулой. Естественной областью определения функции
y f (x)	называется множество D значений аргумента x , для которого

данная формула имеет смысл. Графиком функции y f (x), x D в прямо-

угольной системе координат Oxy , называется множество всех точек плоско-

сти с координатами (x, f (x)) , x D .
Функция f (x)	называется чётной на множестве		X , симметричном отно-
сительно точки	x 0, если для всех	x X	выполняется условие:

f ( x) f (x) и нечётной, если выполняется условие f ( x) f (x). В про-

тивном случае f (x)- функция общего вида или ни чётная, ни нечётная.

Функция	f (x)	называется периодической на множестве X , если сущест-
вует число T 0 (период функции), такое, что для всех x X					выполняется
условие:	f (x T) f (x) . Наименьшее число T 0 называется основным
периодом.	f (x)	называется монотонно возрастающей (убывающей) на
Функция
множестве	X , если большему значению		аргумента x X		соответствует
большее (меньшее) значение функции f (x).
Функция	f (x)	называется ограниченной на множестве X , если существу-
ет число M 0,		такое, что для всех x X выполняется условие: \| f (x)\| M .
В противном случае функция - неограниченная.
Обратной к функции y f (x), x X ,			y Y	называется такая функция
x f 1(y) , которая определена на множестве Y и каждому
y Y ставит в		соответствие такое x X ,	что	f (x) y . Для нахождения
функции x f 1(y), обратной к функции			y f (x), нужно решить уравне-

ние f (x) y относительно x . Если функция y f (x), x X является стро-

го монотонной на X , то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Функция	y	f (x), представляемая в	виде	y f (x) F( (x)), где
y F(u) ,	u	(x) - некоторые функции	такие,	что область определения

функции F(u) содержит всё множество значений функции (x), называется

сложной функцией независимого аргумента x . Переменную u называют при этом промежуточным аргументом. Сложную функцию f (x) F( (x))

называют также композицией функций F и , и пишут: f F .

Основными элементарными функциями считаются: степенная функция y x , показательная функция y ax (a 0, a 1), логарифмическая

функция	у loga x	(a 0, a 1), тригонометрические функции	y sin x ,
y cos x ,	y tgx,	y ctgx , обратные тригонометрические	функции

y arcsinx , y arccos x , y arctgx , y arcctgx. Элементарной называет-

ся функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их арифметических операций и композиций.

Если задан график функции y f (x), x X , то построение графика функции y c f (ax b) d сводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие или растяжение, отображение) графика :

1) преобразование f (x)		симметрично отображает график , относительно
оси Оx; 2) преобразование		f ( x) симметрично отображает график , отно-
сительно оси Оy ; 3) преобразование					f (x a) сдвигает график по оси Ox
на \| a \| единиц ( a 0-	вправо,		a 0		- влево); 4) преобразование		f (x) b
сдвигает график по оси Oy на				\| a \|	единиц (a 0- вверх, a 0 - вниз); 5)
преобразование kf(x) график				вдоль оси Оy растягивает в		k	раз, если
k 1 или сжимает в1 k	раз, если			0 k 1; 6) преобразование		f (kx) график
вдоль оси Оx сжимает в k раз, если k 1 или растягивает в1 k							раз, если
0 k 1.
Последовательность преобразований при построении графика							функции
y c f (ax b) d можно представить символически в виде:
				b
f (x) f (ax)	f	a x			c f (ax b) c f (ax b) d .


				a

Примечание. При выполнении преобразования f (ax) f (ax b) следует иметь в виду, что величина сдвига вдоль оси Ox определяется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу x , а не к аргументу ax .

Графиком функции у ax2 bx c является парабола с вершиной в точке

b		b2
	, c		, ветви которой направлены вверх, если	a 0 или вниз, если
	, c		, ветви которой направлены вверх, если	a 0 или вниз, если
a		4a
a		4a

a 0. Графиком дробно-линейной функции y ax b является гипербола с cx d

центром в точке dc, ac , асимптоты которой проходят через центр, па-

раллельно осям координат.

В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить её область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них. Например, при построении графика функции, в аналитическое выражение которой входит функция

x, x 0
\| x \|	x,	, следует выделить и рассмотреть отдельно промежутки, на
		x 0

которых выражение под знаком модуля не меняет знак.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.02.2016183.3 Кб7ТСИ для гр2131117,2131121.doc
#
11.11.20194.26 Mб3ТСИ_Лабораторная работа №2.doc
#
01.03.20254.39 Mб0ТТ, ТГ, ТЭ Для раздаточного материала.doc
#
16.09.20193.67 Mб55ТЭЦ 440 МВт-мой диплом гост.doc
#
26.02.2016698.88 Кб16умк ЕИ КФУ14изм2.doc
#
26.02.2016792.05 Кб75УМК Математика (в 4-х частях) 2 семестр (инженерно-технические направления).pdf
#
01.04.2025171.01 Кб0УМК практ.работа.doc
#
12.11.2019612.86 Кб11УМК Римское право для студентов.doc
#
26.02.20163.04 Mб123УМК ТВиМС.doc
#
16.11.20193.89 Mб8УМК_АЛГЕБРАиГЕОМЕТРИЯ-2011.doc
#
26.02.201648.31 Кб24УМК_Менеджмент инноваций (1).docx