4. Решение матричных уравнений

Чтобы решать матричные уравнения, нужно уметь строить обратную матрицу. Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если справедливы равенства А^-1А = АА^-1 = Е, где Е - единичная матрица. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля, то есть матрица была невырожденной. Чтобы построить обратную матрицу для матрицы А, нужно выполнить следующие операции:

1. вычислить определитель матрицы А, обозначаемый det А,

2. если det А не равен нулю, то найти матрицу А^т, для чего поменять местами строки и столбцы матрицы А,

3. затем в матрице А^т каждый элемент заменить на его алгебраическое дополнение. Полученную матрицу обозначают Ã^т,

4. разделить матрицу Ã^т на det А, т.е. каждый элемент матрицы Ã^т разделить на det А. В результате получится матрица обратная матрице А. Чтобы решить матричное уравнение АХ=В, нужно умножить слева обе части уравнения на А^-1, тогда Х=А^-1В. Для решения уравнения ХА=В, нужно обе части уравнения умножить справа на А^-1, тогда Х=ВА^-1. Напомним, что порядок умножения важен, так как, вообще говоря, A^-1B ≠ BA^-1.

Итак,

AX=B => X=A^-1B,

XA=B => X=BA^-1.

Пример 9

Решить матричное уравнение:

12 0

Х∙ 3 -1 1 = 1 4 -3

1 0 -1

Обозначим матрицы буквами:

1 2 0

А = 3 -1 1 , В= 1 4 -3 .

1 0 -1

Тогда данное уравнение примет вид: XA = B. Следовательно, Х = ВА^-1.

Вычислим определитель матрицы А.

det А=1·(-1)·(-1)+2·1·1+3·0·0-1·(-1)·0-0·1·1-3·2·(-1)=1+2+0-0-

-0+6=9.

Т.к. det А ≠ 0, то А^-1 существует.

Построим А^т. Для этого поменяем местами строки и столбцы.

1 3 1

А^т = 2 -1 0

0 1 -1

Заменим каждый из элементов матрицы его алгебраическим дополнением.

1 2 2

= 4 -1 -1

1 2 -7

Разделив каждый элемент этой матрицы на det А, получим обратную матрицу А^-1. Итак,

12 2

А^-1=1/9· 4 -1 -1

1 2 -7

НайдёмХ = ВА^-1.

1 2 2

Х = 1/9· 1 4 -3 4 -1 -1 =

1 2 -7

=1/9 · (1·1+4·4+(-3)·1 1·2+4·(-1)+(-3)·2 1·2+4·(-1)+(-3)·(-7)) =

=1/9 · (14 -8 19).

Проверим правильность решения. Для этого подставим матрицу Х в

Уравнение ХА = В.

1 2 0

1/9· 14 -8 19 · 3 -1 1 =

1 0 -1

= 1/9 · (14·1-8·3+19·1 14·2+8·1+19·0 14·0-8·1-19·1) =

= 1/9·(9 36 -27) = (1 4 -3).

Т.е. уравнение решено, верно. Итак, .

5. Вычисление ранга системы векторов

Ранг системы векторов равен числу линейно независимых векторов этой системы, он совпадает с рангом матрицы, строками которой являются координаты векторов в заданной системе координат. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Если векторы заданы своими координатами, то, чтобы найти ранг системы векторов, нужно составить матрицу A, строками которой являются координаты векторов. Затем, с помощью элементарных преобразований (умножения строки на число, перестановки строк, прибавление к строке другой строки, умноженной на число), следует все элементы ниже главной диагонали превратить в нули. То есть алгоритм тот же, что и в методе Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. В результате получим матрицу эквивалентную матрицеA.

Определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны нулю, равен произведению элементов главной диагонали. Следовательно, выделенный определитель, порядок которого равен k, равняется. Любой определитель(k+1)порядка содержит нулевую строку, следовательно, равен нулю. Итак, если все элементы главной диагонали полученной матрицы отличны от нуля, то ранг матрицы и системы векторов равенk. Если же несколько элементов главной диагонали равны нулю, то для подбора ненулевого определителя максимального порядка, следует переставить столбцы матрицы.