б) любая вершина и любое ребро графа G принадлежат некоторому общему простому циклу; в) любые два ребра графа G принадлежат некоторому общему простому циклу;
г) для любых двух вершин v, w и любого ребра x существует простая (v – w)-цепь, содержащая ребро x;
д) для любых трех разных вершин графа G существует простая цепь, соединяющая две из них и проходящая через третью;
е) для любых трех разных вершин графа G существует простая цепь, соединяющая две из них и не проходящая через третью.
Теорема 18. Любой нетривиальный связный граф имеет хотя бы две вершины, не являющиеся точками сочленения.
Граф блоков графа G – граф B(G), вершины которого соответствуют блокам графа G, и две вершины в B(G) смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им блоки имеют общую точку сочленения.
Граф точек сочленения графа G – граф C(G), вершины которого соответствуют точкам сочленения графа G, и две вершины C(G) смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им точки сочленения принадлежат одному блоку.
Теорема 19. Граф H является графом блоков некоторого графа G тогда и только тогда, когда
каждый блок графа H является полным графом. |
|
|
||||
Двудольные графы. Паросочетания |
|
|
||||
Граф G = (V, X) называется двудольным / биграфом и обозначается G = (V1, V2, X), если |
V |
|||||
можно разбить на два подмножества (доли) V1 и V2 так, чтобы каждое ребро графа G соединяло |
||||||
вершины из разных множеств; он |
|
называется полным, если v1 V1 v2 |
V2 v1 , v2 X , |
и |
||
обозначается Km,n, где m V1 , n |
|
V2 |
|
. Граф K1,n называется звездой. |
|
|
|
|
|
|
|||
Граф G = (V, X) называется n-дольным, если существует разбиение {V1, …, Vn} множества V |
||||||
такое, что каждое ребро x X соединяет вершины из разных подмножеств Vi, |
i 1, n , (долей). n- |
дольный граф называется полным, если в нём каждая вершина любой доли смежна со всеми
вершинами остальных долей и обозначается K p |
, p |
, , p |
, где pi Vi , i 1, n . |
||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
n |
||||
|
|
|
|
|
p |
|
p |
. В частности, Km,n Km Kn . |
|||
Легко показать, что K p , p |
, , p |
n |
K |
K |
|||||||
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
n |
|
|||
Если граф несвязный, |
то он будет двудольным тогда и только тогда, когда каждая его |
компонента является двудольным или тривиальным графом. Учитывая это, будем в дальнейшем рассматривать связные графы.
Теорема 20 (Кенига). Граф является двудольным тогда и только тогда, когда все его простые циклы имеют четную длину.
Доказательство. Достаточность ( ). По условию все простые циклы четны. Выберем
произвольную вершину v V . Определим множества W w V : v , w четно , V |
v W , |
||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
V2 = V \ V1. Имеем разбиение {V1, V2} множества V. Покажем, что граф G имеет вид G = (V1, V2, X). |
|||||
Допустим противное. Рассмотрим разные случаи. |
|
|
|
|
|
1. Пусть u, v V2 : u см v . По определению |
множества |
V2, ρ(v1, u) – |
нечетно и |
ρ(v1, v) |
– |
нечетно. Обозначим P1 и P2 кратчайшие простые (v1 – u) и (v1 – v)-цепи: а) если P1 и P2 не имеют
общих |
вершин, |
кроме v1, то простой цикл Z = v1 P1 u v P2 v1 и имеет нечетною |
длину |
X Z |
X P1 |
X P2 1; наличие такого цикла противоречит условию; б) если P1 и P2 |
имеют |
общие вершины, кроме v1, обозначим последнюю из таких вершин (от v1) через w. Тогда отрезки
4
простых цепей P1 и P2 от w к u и v и ребро x = {u, v} образуют простой цикл нечетной длины (в
обоих возможных случаях |
w V2 (рис. 8.2.а) и |
w V1 |
(рис. 8.2.б), что противоречит условию. |
2. Предположение, что |
u, v V1 : u см v |
также |
приводит к противоречию с условием о |
четности простых циклов, которое доказывается по аналогии со случаем 1.
Таким образом, доказано, что в каждом из множеств V1 и V2 нет смежных вершин, т.е. граф является двудольным и имеет вид: G = (V1, V2, X).
Приведенное доказательство достаточности теоремы Кенига является конструктивным и дает метод построения долей, если граф G двудольный.
Пусть G = (V1, V2, X) – двудольный граф, S V1 . Взаимно-однозначное соответствие
f : S → V2 такое, что |
v S f v см v |
называется паросочетанием из S в V2. Его можно описать |
множеством |
X f |
S v, f v , v S , |
|
|
удовлетворяющем |
условиям: |
1) X S |
S |
и |
|||||||||||||
2) x, y X f S x y , |
т.е. иначе, |
паросочетание из S в V2 – это |
множество |
попарно |
||||||||||||||||||
несмежных ребер, инцидентных вершинам S, число которых равно |
S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Паросочетание из V1 в V2 в графе G = (V1, V2, X) называется полным / совершенным. |
|
|
||||||||||||||||||||
Введем множества |
M v w V2 |
|
: w см v , |
M S M v , где |
S V1 . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если S M S , то не существует паросочетания из S в M(S), а следовательно, и в V2. |
|
|||||||||||||||||||||
Дефицит подмножества S V1 – число S S M S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Дефицит графа G – число G max S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
S V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что σ(G) ≥ 0, т.к. |
|
0 . Если σ(G) = 0, |
то |
S V1 : S M S . Если |
||||||||||||||||||
σ(G) > 0, то |
S V1 : S M S и не существует совершенного паросочетания из S в V2. |
|
|
|||||||||||||||||||
Теорема 20 (Холл). |
Совершенное |
|
паросочетание |
из |
V1 |
в |
V2 |
|
в |
двудольном |
графе |
|||||||||||
G = (V1, V2, X) существует тогда и только тогда, когда S V1 |
: S M S |
, т.е. когда σ(G) = 0. |
||||||||||||||||||||
Теорема 21. Число ребер в максимальном паросочетании П двудольного графа G = (V1, V2, X) |
||||||||||||||||||||||
равно V1 G , т.е |
max П V1 G . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
П X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 22. |
Пусть |
G = (V1, V2, X) |
|
– |
непустой |
двудольный |
граф. |
Тогда, |
если |
|||||||||||||
min d v max d w , то существует совершенное паросочетание V1 с V2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
v V1 |
w V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы различных представителей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть S – непустое конечное множество, а F Si S,i 1, n . |
|
|
|
|
|
si S,i 1, n , |
||||||||||||||||
Системой различных представителей (трансверсаль) семейства F множество |
||||||||||||||||||||||
для которого si ≠ sj |
при i ≠ j , i 1, n : si Si |
|
представители множества Si. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Не для всякого семейства F существует с.р.п.. Задача об с.р.п. может быть сведена к задаче о |
||||||||||||||||||||||
полном паросочетании в двудольном графе: G = (F, S, X): |
X Si |
, s : Si F, s Si . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
F |
Si ,i |
|
|
|
|
||||||||||||
Теорема 23. |
Трансверсаль для семейства |
множеств |
1, n |
существует |
тогда и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
только тогда, когда k |
1, n |
i1 , i2 , , ik |
1, n |
: Sil |
k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5