Бинарные операции
Пусть G1 = (V1, X1); G2 = (V2, X2); 1. Объединение графов G1 и G2 – граф
V1 G1
p |
|
1 |
|
G |
2 |
|
,
X |
1 |
q |
|
1 |
|
V , X : |
;
V |
2 |
p |
|
|
|
V V |
||
|
|
1 |
2 ,
X |
2 |
|
|
|
|
|
|
V |
2 |
|
& |
|
|
|
q
2 , X
V1
X
V |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
X2 .
.
|
V p p1 p2 , X q q1 q2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Соединение графов G1 и G2 – граф G1 |
G2 |
V , X : V V1 |
V2 |
|
& |
|
v |
|
|
|
: v V & v |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
X X |
1 |
X |
2 |
, v |
j |
j |
V |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
1 |
|
2 |
|
||||||||
|
V p p1 p2 , X q q1 q2 p1q2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Произведение |
графов (прямое / декартово) G1 и G2 – граф |
G1 |
G2 |
V , X :V V1 V2 |
& |
|||||||||||||||||||||||||
|
& v,w V : v,w X Пр1 v Пр1 w & Пр2 v см Пр2 w Пр1 v см Пр1 w & Пр2 v Пр2 w . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
V p p1 p2 , X q p1q2 |
p2 q1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Композиция графов G1 и G2 – граф G1 |
G2 V , X :V V1 |
V2 & v,w V : v,w X |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Пр1 v см Пр1 w Пр1 v Пр1 w & Пр2 v см Пр2 w . |
|||||||||||||||||||||||||
|
V p p1 p2 , X q p1q2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
q1 p2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Пересечение графов G1 и G2 – граф G1 G2 |
V , X : |
V V1 V2 |
|
& |
|
X X1 |
|
X 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Операции |
, +, |
, коммутативны, |
т.е. к |
примеру, |
|
G1 G2 G2 |
G1 . |
Если |
|
графы |
||||||||||||||||||||
рассматривать с точностью до изоморфизма, то операция × также коммутативна: |
|
G1 |
G2 |
~ G2 |
G1 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
Операция не коммутативна, т.е. G1 G2 ~ G2 |
G1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Точки сочленения, мосты и блоки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Точка сочленения графа G = (V, X) – такая его вершина, при удалении которой получается |
||||||||||||||||||||||||||||||
граф G – v с числом компонент большим, чем у графа G. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Мост графа – его ребро x, удаление которого увеличивает число компонент. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Граф неразделимый, если он связный, непустой и без точек сочленения, иначе – разделимый. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Блок графа – его максимальный (в смысле ) неразделимый подграф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Приведем некоторые признаки точки сочленения, моста и блока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Теорема 15. Вершина v связного графа G = (V, X) является точкой сочленения тогда и только |
||||||||||||||||||||||||||||||
тогда, когда выполняется одно из следующих условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v – точка сочленения |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) существует |
разбиение {V1, V2} множества |
V \ {v} |
такое, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
v1 V1 v2 V2 |
вершина v принадлежит любой простой (v1 – v2)-цепи; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
б) существуют вершины u, w V , отличные от v, |
такие, |
что вершина v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|||||||||||||||||||
принадлежит любой простой (u – w)-цепи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Теорема 16. Ребро x связного графа G = (V, X) является мостом тогда и только тогда, когда |
||||||||||||||||||||||||||||||
выполняется одно из следующих условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) существует |
разбиение |
{V1, V2} |
множества |
V |
|
такое, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x – мост |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v1 V1 v2 V2 |
ребро x принадлежит любой простой (v1 – v2)-цепи; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|||||||||||||||
|
б) существуют вершины v1 , v2 V такие, |
что x принадлежит любой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
простой (v1 – v2)-цепи; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) x не принадлежит ни одному простому циклу графа G. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Теорема 17. Пусть G = (V, X) – связный граф и |
V 3 . Тогда G является блоком тогда и |
|||||||||||||||||||||||||||||
только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) любые две вершины графа G принадлежат некоторому общему простому циклу; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |