Полином Жегалкина

Было показано, что любую булеву функцию можно представить в виде формулы, содержащей только связки ¬, & и ˅. Итак, множество {0, 1} с заданными на нём операциями ¬, & и ˅ называется алгеброй логики.

Кроме того, любую функцию можно задать формулой, содержащей лишь связки & и(будет показано ниже). Множество {0, 1} с заданными на нём операциями & и , называется алгеброй Жегалкина. Но в этой алгебре для конъюнкции обычно используют запись xy (а не x & y), а для суммы по модулю 2 – обычный знак сложения: x + y.

Операции алгебры Жегалкина обладают следующими свойствами: коммутативности:

1°. xy ~ yx ;

чётн.

Пример. Построить полином Жегалкина для булевой функции

fx y z .

1.Построим полином Жегалкина аналитически:

1

Система булевых функций называется полной (функционально), если любую булеву функцию можно выразить через них, т.е. любая булева функция будет представима

Для того, чтобы выяснить, полна ли система булевых функций, необходимо проверить некоторые их свойства, по которым производится деление всех функций на следующие пять классов.

1.Класс функций, сохраняющих ноль, P0.

Булева функция f (x1, …, xn) называется сохраняющей ноль, если она обращается в

2. Класс функций, сохраняющих единицу, P1.

3. Класс самодвойственных функций, S.

Булева функция называется самодвойственной, если её отрицание равносильно функции отрицания (переменных), т.е.

2

Для проверки условия (4) построим полиномы Жегалкина для отрицания функции g (левая часть (4)) и функции g от переменных с отрицанием (правая часть (4)) и сравним полученные полиномы.

Вместо условия (4) можно проверять эквивалентное ему условие:

4. Класс монотонных функций, M.

Булева функция называется монотонной, если с возрастанием набора значений переменных (по неравенству Парето), значение функции не убывает, т.е.

Таким образом, если для функции будет найдена хотя бы одна пара наборов, для которой указанное условие нарушается, это будет означать, что функция не монотонна.

2-го ((b1, b2) = (1, 0)) условие (5) нарушается, т.е. f (0, 0) = 1 > f (1, 0) = 0.

Пара наборов 1 и 2 ((a1, a2) = (0, 1) и (b1, b2) = (1, 0)) для доказательства не подойдут, т.к. являются несравнимыми по неравенству Парето, т.е. посылка (левая часть следствия в (5)) является ложной, что обращает в истину весь предикат (результат связки →) независимо от истинности или ложности заключения (правой части следствия в (5)), и это не нарушает проверяемого условия. □

5.Класс линейных функций, L.

Булева функция называется линейной, если составленный для неё полином

Жегалкина линеен, т.е. имеет место представление:

f x1 , , xn a0 a1 x1 a2 x2 an xn .

Теорема. Каждый из пяти описанных классов является замкнутым, т.е. суперпозиция функций одного класса является функцией этого же класса.

Теорема Поста (критерий полноты). Система булевых функций полна тогда и только тогда, когда для каждого из классов P0, P1, S, M, L есть функция рассматриваемой системы, ему не принадлежащая.

Пример. Выяснить, полна ли система булевых функций , . Для этого рассмотрим каждый из пяти классов функций:

3

Обе рассматриваемые функции являются линейными, поэтому с их помощью нельзя будет выразить нелинейные булевы функции, значит, рассматриваемая система неполна. □

4